Восстановление коэффициента уравнения при условии на сумму корней — математический практикум для 8 класса

Учебная цель: восстанавливать коэффициент b по заданной сумме корней квадратного уравнения, проверять существование действительных корней и отличать допустимое условие от противоречивого. Данные оформлены таблицей, как в самостоятельном математическом исследовании.

Сначала проверьте утверждение

«Если сумма корней известна, то всегда существует квадратное уравнение с действительными корнями и указанным свободным членом». Это не всегда так. По теореме Виета сумма двух корней с учётом кратности равна S = −b/a, поэтому формально b = −aS. Но восстановленный b не гарантирует D ≥ 0. Для действительных корней обязательно нужно проверить дискриминант.

Пример: x² + bx + 9 = 0, сумма корней S = 4. Получаем b = −4, значит x² − 4x + 9 = 0. Однако D = 16 − 36 = −20. Следовательно, нет квадратного уравнения с этим a, c, указанной суммой и двумя действительными корнями. Значение b = −4 удовлетворяет формальной формуле, но условие о действительных корнях — нет.

Таблица исходных данных

Для всех строк a ≠ 0; S — предполагаемая сумма двух действительных корней, считая двойной корень дважды. Впишите b = −aS, затем D = b² − 4ac и вывод: «два», «один различный (двукратный)» или «условие невозможно для действительных корней».

При проверке не забывайте, что произведение ac может быть отрицательным: тогда −4ac — положительное слагаемое. При отрицательном a знак b также нужно вычислять по формуле, а не по интуиции. Получение одного действительного корня не означает, что исходная сумма S «неверна»: в теореме Виета двойной корень считается дважды.

Разберите скрытые противоречия

1. 17. Ученик записал b = −6 для уравнения 2x² + bx + 5 = 0 при сумме корней 3 и сказал: «Условие выполнено, проверка не нужна». Прав ли он? Подтвердите или опровергните расчётом.
2. 18. Для уравнения ax² + bx + 1 = 0 задано a = 1/4 и сумма корней 4. Восстановите b, определите число действительных корней, если они существуют.
3. 19. Постройте пример уравнения с a = 2 и суммой корней −3 так, чтобы оба корня были действительными и различными. Можно ли выбрать c = 10? Объясните.

Ответы по таблице и обоснование

Строки с отрицательным D нужно понимать строго: их найденный коэффициент b — правильный алгебраический ответ на равенство −b/a = S, но реальных корней при таком b нет. Если в условии прямо сказано «сумма действительных корней», итогом является «такого уравнения с заданными параметрами не существует».

Разбор расширенных задач

17. Восстановление b выполнено верно: b = −aS = −2 · 3 = −6. Но D = (−6)² − 4 · 2 · 5 = 36 − 40 = −4. Значит, действительных корней нет, и утверждение о реальной сумме 3 противоречиво. Одна формула Виета без проверки существования корней недостаточна.

18. b = −(1/4) · 4 = −1. D = (−1)² − 4 · (1/4) · 1 = 0. Единственный различный корень равен x₀ = −b/(2a) = 1/(1/2) = 2, и сумма с учётом кратности 2 + 2 = 4. Здесь всё согласуется.

19. Выбираем b = −2 · (−3) = 6. При c = 0 получаем 2x² + 6x = 0, корни 0 и −3: они действительные, разные, сумма −3. Если выбрать c = 10, получится D = 6² − 4 · 2 · 10 = −44; действительных корней не будет. Следовательно, c = 10 выбирать нельзя.

Вывод по исследованию

Восстановление коэффициента по сумме корней — это два связанных действия: вычисление b и проверка самой возможности действительных корней. Когда D = 0, проверяйте кратность; когда D > 0, два корня имеют нужную сумму; когда D < 0, нельзя заявлять, что найдена сумма действительных корней. Дополнительный контроль: если корни получены явно, сложите их и сравните с S. Такой подход предотвращает типичную ошибку «формула верна — значит, задача решена».

Дополнительный критерий существования действительных корней

Подставим в дискриминант найденное b = −aS: D = a²S² − 4ac = a²(S² − 4c/a). Так как a² положительно, требование D ≥ 0 равносильно неравенству S² ≥ 4c/a. Этот короткий вывод помогает ещё до длинных вычислений обнаружить невозможность условия. Важное уточнение: деление на a допустимо только при a ≠ 0, а если c/a отрицательно, правая часть отрицательна и неравенство автоматически выполняется для любого действительного S.

Например, при a = 1 и c = 10 получаем 4c/a = 40. Если требуется сумма S = −2, то S² = 4 < 40; действительных корней с такой суммой не существует. А при a = −2, c = 3 отношение c/a отрицательно, поэтому дискриминант положителен при любом действительном S. Это заметно по строке 8 таблицы: b = 4, D = 40, имеются два различных корня.

Контрольные разборы отдельных строк

Строка 3: a = 3, c = 0, S = 0. Тогда b = 0 и уравнение 3x² = 0. Корень x = 0 двукратный, сумма с учётом кратности 0 + 0 = 0. Если считать только различные корни, один ноль нельзя складывать с самим собой без пояснения кратности.

Строка 4: a = 1/2, c = 2, S = 4. Тогда b = −2, получаем (1/2)x² − 2x + 2 = (1/2)(x − 2)² = 0. Корень x = 2 двукратный. Проверка: 2 + 2 = 4. Это полезный пример, где наличие лишь одного различного корня не противоречит заданной сумме двух корней, считая кратность.

Строка 15: a = 3/4, c = 1/3, S = 2. Восстанавливаем b = −3/2. Дискриминант равен 9/4 − 4·(3/4)·(1/3) = 9/4 − 1 = 5/4 > 0. Оба корня действительные и разные. Не округляйте 1/3 до 0,33: тогда знак и значение D будут оценены приближённо, хотя точное дробное вычисление несложно.

При самопроверке отделяйте восстановленный параметр от проверки совместимости условий. В таблице могут встречаться строки с правильно найденным b, но невозможным требованием «сумма двух действительных корней». Противоречие в условии не нужно «чинить» подбором другого b: коэффициент уже однозначно определяется заданной суммой, а дополнительных вариантов у него нет.

Обратная связь с произведением корней

Теорема Виета сообщает и второе равенство: произведение корней P = c/a. Поэтому при предполагаемой сумме S числа-корни должны быть решениями уравнения t² − St + P = 0. Его дискриминант S² − 4P совпадает по знаку с D исходного квадратного уравнения, что подтверждает найденное правило. Если эта величина отрицательна, действительных чисел с заданными суммой и произведением не существует.

Например, два действительных числа не могут иметь сумму 2 и произведение 10: уравнение t² − 2t + 10 = 0 имеет дискриминант 4 − 40 = −36. А числа 1 и 3 имеют сумму 4 и произведение 3; для a = 2 им соответствует b = −8 и c = 6. Получив уравнение 2x² − 8x + 6 = 0, можно проверить подстановкой оба корня, не прибегая к десятичным приближениям.