Проверка найденных корней при нулевом свободном члене — мини-практикум с ответами, 8 класс

Мини-практикум для 8 класса посвящён проверке уже предложенных корней, когда свободный член квадратного уравнения равен нулю. Ученику нужно не только назвать правильные числа, но и подстановкой обнаружить посторонний вариант, пропущенный ноль или ошибочный знак.

Обратная проверка: начните с результата

Пусть в ответе к 3x² − 18x = 0 написано «6». Проверим число: 3 · 6² − 18 · 6 = 108 − 108 = 0; это верный корень. Но ответ неполон: 3x(x − 6) = 0, поэтому x = 0 тоже удовлетворяет уравнению. Обратная проверка должна состоять из двух частей: каждый записанный кандидат подставлен и все корни найдены.

Алгоритм: 1) убедитесь, что a ≠ 0 и c = 0; 2) вынесите x за скобку — x(ax + b) = 0; 3) сравните предложенные числа с 0 и −b/a; 4) выполните подстановку в исходное равенство. Когда b = 0, оба найденных выражения дают x = 0, но различный корень только один.

Карточка A. Проверить предложенные пары

1. 1. 2x² − 14x = 0. Предложены корни 0 и 7. Верна ли пара? При необходимости исправьте ответ.
2. 2. 5x² + 15x = 0. Предложены корни 0 и -3. Верна ли пара? При необходимости исправьте ответ.
3. 3. 3x² − 12x = 0. Предложены корни 0 и -4. Верна ли пара? При необходимости исправьте ответ.
4. 4. −2x² + 8x = 0. Предложены корни 0 и 4. Верна ли пара? При необходимости исправьте ответ.
5. 5. 4x² − 6x = 0. Предложены корни 0 и 3/2. Верна ли пара? При необходимости исправьте ответ.
6. 6. −3x² − 9x = 0. Предложены корни 0 и 3. Верна ли пара? При необходимости исправьте ответ.

Здесь некоторые пары специально содержат неверные значения. При проверке числа x = −4 не заменяйте x² на −16: квадрат отрицательного числа положителен. Если второй предложенный кандидат не подходит, обязательно запишите исправленный ответ, а не только слово «ошибка».

Карточка B. Сверьте только один предложенный корень

1. 7. 3x² + 9x = 0. Ученик утверждает, что x = 3 — корень. Проверьте прямой подстановкой; если нет, найдите ненулевой корень.
2. 8. 4x² − 20x = 0. Ученик утверждает, что x = 5 — корень. Проверьте прямой подстановкой; если нет, найдите ненулевой корень.
3. 9. 2x² + 6x = 0. Ученик утверждает, что x = -3 — корень. Проверьте прямой подстановкой; если нет, найдите ненулевой корень.
4. 10. −5x² + 10x = 0. Ученик утверждает, что x = 2 — корень. Проверьте прямой подстановкой; если нет, найдите ненулевой корень.
5. 11. 7x² − 21x = 0. Ученик утверждает, что x = -3 — корень. Проверьте прямой подстановкой; если нет, найдите ненулевой корень.
6. 12. 1/2x² − 2x = 0. Ученик утверждает, что x = 4 — корень. Проверьте прямой подстановкой; если нет, найдите ненулевой корень.

Карточка C. Восстановите пропущенное число и объясните ошибку

1. 13. Корни уравнения 8x² − 24x = 0 записаны как x = 3. Какая часть решения пропущена?
2. 14. К уравнению −6x² − 12x = 0 записаны числа 0 и 2. Выявите неверный знак и проверьте правильное число.
3. 15. Для 5x² = 0 записано «корней два: 0 и 0». Как правильно указать число различных корней и их кратность?
4. 16. Утверждается, что 2x² + px = 0 имеет корни 0 и −4. Восстановите p и выполните обе подстановки.
5. 17. Дано ax² − 15x = 0, ненулевой корень 5. Определите a, а затем докажите полноту ответа.
6. 18. В уравнении 9x² + 0x = 0 нужно ли записывать «корни 0 и 0»? Сформулируйте проверку без лишнего корня.

Проверочные решения

Карточка A

1. 1. Для x = 0 получаем 0. Для x = 7: 2 · (7)² + (-14) · (7) = 0; кандидат подходит. Полный набор различных корней: 0 и 7.
2. 2. Для x = 0 получаем 0. Для x = -3: 5 · (-3)² + (15) · (-3) = 0; кандидат подходит. Полный набор различных корней: 0 и -3.
3. 3. Для x = 0 получаем 0. Для x = -4: 3 · (-4)² + (-12) · (-4) = 96; кандидат не подходит. Полный набор различных корней: 0 и 4.
4. 4. Для x = 0 получаем 0. Для x = 4: -2 · (4)² + (8) · (4) = 0; кандидат подходит. Полный набор различных корней: 0 и 4.
5. 5. Для x = 0 получаем 0. Для x = 3/2: 4 · (3/2)² + (-6) · (3/2) = 0; кандидат подходит. Полный набор различных корней: 0 и 3/2.
6. 6. Для x = 0 получаем 0. Для x = 3: -3 · (3)² + (-9) · (3) = -54; кандидат не подходит. Полный набор различных корней: 0 и -3.

Карточка B

1. 7. Подстановка: 3 · (3)² + (9) · (3) = 54. Кандидат неверный; ненулевой корень −b/a = -3 (помимо x = 0).
2. 8. Подстановка: 4 · (5)² + (-20) · (5) = 0. Кандидат верный; ненулевой корень −b/a = 5 (помимо x = 0).
3. 9. Подстановка: 2 · (-3)² + (6) · (-3) = 0. Кандидат верный; ненулевой корень −b/a = -3 (помимо x = 0).
4. 10. Подстановка: -5 · (2)² + (10) · (2) = 0. Кандидат верный; ненулевой корень −b/a = 2 (помимо x = 0).
5. 11. Подстановка: 7 · (-3)² + (-21) · (-3) = 126. Кандидат неверный; ненулевой корень −b/a = 3 (помимо x = 0).
6. 12. Подстановка: 1/2 · (4)² + (-2) · (4) = 0. Кандидат верный; ненулевой корень −b/a = 4 (помимо x = 0).

Карточка C

13. 8x² − 24x = 8x(x − 3). Корни 0 и 3. Пропущен нулевой корень: 8·0² − 24·0 = 0.

14. −6x² − 12x = −6x(x + 2). Вместо +2 нужен x = −2: −6·4 − 12·(−2) = −24 + 24 = 0. Для +2 выражение равно −24 − 24 = −48.

15. 5x² = 0 имеет один различный корень x = 0 кратности два. Подстановка даёт 5·0² = 0; дважды писать одно число как два различных решения нельзя.

16. 2·(−4)² + p·(−4) = 0 ⇒ 32 − 4p = 0 ⇒ p = 8. Уравнение 2x² + 8x = 2x(x + 4) = 0. Подстановка −4: 32 − 32 = 0, подстановка 0: 0 = 0.

17. 25a − 75 = 0 ⇒ a = 3. Тогда 3x² − 15x = 3x(x − 5), корни 0 и 5. Других не бывает, потому что произведение двух линейных множителей равно нулю только при обнулении одного из них.

18. 9x² = 0. Записываем один различный корень x = 0 (двукратный). Проверка: 9·0² = 0. Если требуется количество корней с учётом кратности, это нужно сказать отдельно; запись «два разных нуля» неверна.

Лист самопроверки для учителя и ученика

За каждое задание можно поставить 2 балла: 1 — за корректную проверку подстановкой, 1 — за полный набор корней или содержательное исправление. Всего 36 баллов. Особенно важно рассмотреть № 3, 9 и 14: они показывают, что знак ненулевого корня определяется сразу двумя коэффициентами, а ошибка при возведении отрицательного числа в квадрат меняет результат. В завершение учащийся должен сам сформулировать две мысли: ноль всегда является корнем при c = 0, но сам по себе факт «x = 0 — корень» ничего не говорит о втором корне.

Два способа независимой проверки одного ответа

Пусть ученик сообщил корни 0 и 4 для уравнения 3x² − 12x = 0. Первый способ — непосредственная подстановка обоих чисел: f(0) = 0 и f(4) = 3·16 − 12·4 = 0. Второй способ — разложение на множители: 3x(x − 4) = 0. Разложение показывает не только то, что приведённые числа подходят, но и что других корней нет. Проверка подстановкой и проверка факторизацией дополняют друг друга: подстановка отсекает неверные кандидаты, факторизация подтверждает полноту.

Теперь рассмотрим неверный ответ к тому же уравнению: «корни 0 и −4». Если подставить −4, получится 3·16 − 12·(−4) = 48 + 48 = 96. Число не подходит. Ошибка часто рождается при переходе от множителя (x − 4) к корню: если x − 4 = 0, то x = +4, а не −4. В заданиях на проверку сначала перепишите соответствующий линейный множитель, затем найдите его нуль.

Что делать с неполными и избыточными ответами

Неполный ответ. Если решено 8x² − 24x = 0 и написано только «3», число верно, но потерян нулевой корень. Простой контроль: при c = 0 обязательно проверьте x = 0, даже если он не упомянут в черновике. В данном случае 8x(x − 3) = 0 даёт оба значения.

Лишний ответ. Для −6x² − 12x = 0 пара {0; 2} неверна. После выноса −6x появляется множитель (x + 2), поэтому второй корень −2. Если подставить +2, выражение равно −48. Нельзя утверждать, что достаточно одной верной подстановки, когда задача просит проверить целый набор.

Повторяющийся корень. Когда b = 0, выражение ax² = 0 имеет единственное различное решение x = 0. При этом его кратность равна двум. В ответе «0, 0» иногда пытаются обозначить кратность, но при вопросе «перечислите различные корни» такая запись вводит в заблуждение. Лучше писать: «x = 0, корень кратности два».

Как составить собственный пример для проверки

Выберите ненулевое a и ненулевое r, затем положите b = −ar и c = 0. Так вы заведомо получите уравнение с корнями 0 и r. Например, возьмём a = −4, r = 3/2. Тогда b = −(−4)·(3/2) = 6, и уравнение −4x² + 6x = 0. Проверка: при x = 3/2 имеем −4·9/4 + 6·3/2 = −9 + 9 = 0. Из факторизации −2x(2x − 3) = 0 видно, что других корней нет. Теперь предложите соседу для проверки ложный кандидат x = −3/2 и попросите найти ошибку, не решая уравнение заново.

Для самостоятельной диагностики полезно различать три итоговых формулировки: «число подходит», «число не подходит», «число подходит, но список корней неполон». Последняя особенно важна в этой теме, потому что при c = 0 нулевой корень легко не заметить, увлёкшись проверкой предложенного ненулевого значения. В любом случае математическое обоснование должно включать вычисление, а не одно слово.

Проверка без решения с нуля

В жизни проверяющий часто видит уже готовый ответ, а не чистую задачу. Если указан конкретный кандидат, необязательно сразу искать оба корня формулой: начните с вычисления f(r) = ar² + br. Это быстрый тест, позволяющий немедленно отвергнуть ошибку. Например, для −5x² + 10x = 0 проверка r = −2 даёт −5·4 + 10·(−2) = −40, так что кандидат не подходит. Затем для полноты всё же используйте разложение −5x(x − 2) = 0 и запишите 0, 2.

Проверка корней не равнозначна проверке одной лишь пары чисел. Можно подставить оба названных числа и убедиться, что они подходят, но при этом забыть рассмотреть вопрос о полноте. Для квадратного уравнения при c = 0 разложение x(ax + b) исключает такую неопределённость: каждый корень возникает либо из x = 0, либо из ax + b = 0. Поэтому любое третье отличное число при a ≠ 0 заведомо не может быть дополнительным корнем.