Проверка найденных корней при двойном корне: рабочий лист для 8 класса

Короткая диагностика, 8 класс. Проверьте, действительно ли названное число является двойным корнем. Равенство f(r) = 0 само по себе доказывает лишь, что r — корень, но не его кратность. Для квадратного уравнения нужны одновременно a ≠ 0, D = 0 и r = −b/(2a).

Три контрольных вопроса

1. 1. Для x² − 8x + 16 = 0 ученик назвал двойной корень 4. Проверьте подстановку и D.
2. 2. У 2x² + 8x + 8 = 0 назван двойной корень +2. Найдите ошибку в знаке.
3. 3. Для x² − 5x + 6 = 0 утверждают, что число 2 — двойной корень. Объясните, почему обычного равенства f(2) = 0 недостаточно.

Девять новых заданий

1. 4. Установите, является ли −3 двойным корнем уравнения x² + 6x + 9 = 0.
2. 5. Проверьте кандидат 3 для 4x² − 12x + 9 = 0.
3. 6. Проверьте кандидат 3/2 для 4x² − 12x + 9 = 0.
4. 7. Есть ли двойной корень у x² + 2x + 1 = 0? Назовите его.
5. 8. Проверьте, является ли 0 двойным корнем 7x² = 0.
6. 9. У x² + 0x − 16 = 0 назван двойной корень 4. Найдите ошибку.
7. 10. Проверьте корень 5 для 3x² − 30x + 75 = 0.
8. 11. Может ли x = 2 быть двойным корнем уравнения x² − 4x + 5 = 0?
9. 12. Для (1/2)x² + 3x + 9 = 0 проверьте двойной корень −3.

Ключ с пояснениями

1. 1. 16 − 32 + 16 = 0; D = 64 − 64 = 0. Да, x = 4 двукратный.
2. 2. D = 64 − 64 = 0, но x₀ = −8/4 = −2. Подстановка +2 даёт 8 + 16 + 8 = 32 ≠ 0.
3. 3. f(2) = 4 − 10 + 6 = 0, однако D = 25 − 24 = 1 > 0; корни разные, 2 и 3.
4. 4. Да: (−3)² + 6(−3) + 9 = 0, D = 36 − 36 = 0.
5. 5. Нет: f(3) = 36 − 36 + 9 = 9. Двойной корень равен 3/2.
6. 6. Да: 4·(9/4) − 12·(3/2) + 9 = 9 − 18 + 9 = 0, D = 144 − 144 = 0.
7. 7. Да, x = −1, потому что (x + 1)² = 0.
8. 8. Да, x = 0; D = 0, а f(0) = 0, корень кратности два.
9. 9. Нет: D = 64 > 0; корни 4 и −4, каждый простой.
10. 10. Да: 3·25 − 30·5 + 75 = 75 − 150 + 75 = 0; D = 900 − 900 = 0.
11. 11. Нет: f(2) = 4 − 8 + 5 = 1 ≠ 0; D = 16 − 20 = −4, действительных корней нет.
12. 12. Нет: D = 9 − 4·(1/2)·9 = −9. При x = −3 выражение равно 9/2 − 9 + 9 = 9/2 ≠ 0. Действительных корней нет.

Критерий: по 1 баллу за правильный вывод и ещё по 1 за обоснование — всего 24. Если неверны № 2, 5 или 12, повторите вычисление x₀ и знаков; если № 3 или 9 — разницу между «корнем» и «двойным корнем». Для каждого ответа можно выполнить две независимые проверки: подстановку и дискриминант.

Как не спутать обычный и двойной корень

Проверка f(r) = 0 говорит, что r действительно является корнем. Но если требуется именно двойной корень, нужна дополнительная проверка D = 0. Например, в задании 3 число 2 подходит, но второй корень равен 3, потому что x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). В задании 9 число 4 тоже подходит, но есть и −4, значит, кратность каждого корня равна единице. Изучайте отдельно два вопроса: «подходит ли число?» и «совпадают ли оба корня?».

Надёжный способ выполнить проверку: сначала выпишите a, b, c, затем найдите D. При D < 0 действительных корней нет вообще; при D > 0 есть два различных, следовательно, двойного нет. Только при D = 0 вычисляйте x₀ = −b/(2a) и сравнивайте с предложенным кандидатом. Последнюю проверку подстановкой полезно сохранить: она помогает найти ошибку в вычислении x₀ или знаке коэффициента.

В заданиях 5 и 6 фигурирует одно и то же уравнение. Это сделано намеренно: предложенное число 3 не подходит, а число 3/2 удовлетворяет условию двойного корня. Такое сравнение проверяет не запоминание готового ответа, а умение отличить близкие значения. Если ошибка повторяется, потренируйтесь сначала преобразовывать выражение к квадрату двучлена: 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)².

Ещё одна быстрая проверка

Если уравнение уже приведено к виду a(x − r)² = 0 при a ≠ 0, двойной корень сразу читается как x = r. Например, 5(x + 2)² = 0 даёт x = −2, а не +2. Но такое представление допустимо не всегда: выражение x² − 5x + 6 не является квадратом одного линейного множителя. Если вы не видите точный квадрат, вычислите D и не угадывайте кратность по внешнему виду чисел. Именно этот навык проверяет рабочий лист.