Определение общего множества решений с условием целочисленности ответа — проверочная работа по математике, 8 класс

8 класс · Алгебра · Неравенства. Учебная цель: решать системы линейных неравенств, а затем выбирать только целочисленные ответы, не округляя открытые и закрытые границы.

Маршрут проверки: от действительных границ к целым ответам

Задача «найдите все целые решения» состоит из двух последовательных этапов: сначала решается система как обычно на числовой прямой, затем из полученного пересечения выбираются только числа из Z = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}. Число 2,5 не становится допустимым только потому, что лежит внутри промежутка; число 3 не входит в строгое условие x < 3.

На первом этапе не округляйте границы. Например, условие x > 7/3 означает, что первое допустимое целое число — 3. При x ≥ 7/3 ответ тоже начинается с 3, но по иной причине. Для x < −5/2 наибольшее подходящее целое — −3, а не −2. При равных строгих границах решений нет даже в действительных числах.

Ступень 1. Лёгкий старт

Развилка «верно или ошибка». Ученик написал: «Если x > −2,1, то первое целое решение −2». Это верно. Другая запись «если x < −2,1, то подходит −2» ошибочна: −2 больше, чем −2,1. Подставьте число в исходное условие — это надёжнее памяти.

Ступень 2. Проверочная серия (№ 1–9)

1. Решите в целых числах: x − 2 > −6 и x + 1 ≤ 5. Запишите все целые ответы по возрастанию.
2. Решите в целых числах: 2x − 3 ≥ −6 и −x + 2 > −1/2. Запишите все целые ответы по возрастанию.
3. Решите в целых числах: 3x + 1 > 4 и 2x + 4 < 16. Запишите все целые ответы по возрастанию.
4. Решите в целых числах: −2x + 4 ≤ 9 и 2x + 1 ≤ 0. Запишите все целые ответы по возрастанию.
5. Решите в целых числах: 4x − 1 > −5 и −3x + 2 ≥ −4. Запишите все целые ответы по возрастанию.
6. Решите в целых числах: −2x + 1 ≤ −2 и −x + 1 > −7/2. Запишите все целые ответы по возрастанию.
7. Решите в целых числах: 3x − 3 ≥ −21 и −2x + 2 ≥ 10. Запишите все целые ответы по возрастанию.
8. Решите в целых числах: −3x + 3 ≤ −3 и 4x − 2 ≤ 6. Запишите все целые ответы по возрастанию.
9. Решите в целых числах: −x + 2 < 2 и −x + 3 ≥ 3. Запишите все целые ответы по возрастанию.

Ступень 3. Особые границы и дробные пороги (№ 10–18)

10. Решите в целых числах: 4x − 2 > −34/3 и −3x > −8. Запишите все целые ответы по возрастанию.
11. Решите в целых числах: 5x + 1 ≥ 2 и 2x − 1 ≤ 13/5. Запишите все целые ответы по возрастанию.
12. Решите в целых числах: −4x + 1 < 12 и 2x + 3 ≤ 3/2. Запишите все целые ответы по возрастанию.
13. Решите в целых числах: x > 6 и −2x + 5 ≥ −17. Запишите все целые ответы по возрастанию.
14. Решите в целых числах: 2x + 4 ≥ −2 и −x ≥ −1. Запишите все целые ответы по возрастанию.
15. Решите в целых числах: −3x < −21/2 и 2x + 1 < 10. Запишите все целые ответы по возрастанию.
16. Решите в целых числах: 4x + 2 ≥ −1 и −2x + 1 ≥ −7/2. Запишите все целые ответы по возрастанию.
17. Решите в целых числах: −2x + 2 < −8 и x − 3 < 2. Запишите все целые ответы по возрастанию.
18. Решите в целых числах: 3x + 2 > −6 и −3x + 1 ≥ −10. Запишите все целые ответы по возрастанию.

Ключ для самопроверки

В ответах сначала указана действительная часть решения, затем окончательный ответ в целых числах. Если целых чисел нет, ставится знак ∅. Равенство строгих границ также может дать пустое множество.

1. № 1. После приведения: x > −4 и x ≤ 4, значит в R: (−4; 4]. В Z: {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}. Укажите, почему обе найденные границы включены или исключены.
2. № 2. После приведения: x ≥ −3/2 и x < 5/2, значит в R: [−3/2; 5/2). В Z: {−1, 0, 1, 2}. При делении на отрицательный коэффициент знак обращён.
3. № 3. После приведения: x > 1 и x < 6, значит в R: (1; 6). В Z: {2, 3, 4, 5}. Укажите, почему обе найденные границы включены или исключены.
4. № 4. После приведения: x ≥ −5/2 и x ≤ −1/2, значит в R: [−5/2; −1/2]. В Z: {−2, −1}. При делении на отрицательный коэффициент знак обращён.
5. № 5. После приведения: x > −1 и x ≤ 2, значит в R: (−1; 2]. В Z: {0, 1, 2}. При делении на отрицательный коэффициент знак обращён.
6. № 6. После приведения: x ≥ 3/2 и x < 9/2, значит в R: [3/2; 9/2). В Z: {2, 3, 4}. При делении на отрицательный коэффициент знак обращён.
7. № 7. После приведения: x ≥ −6 и x ≤ −4, значит в R: [−6; −4]. В Z: {−6, −5, −4}. При делении на отрицательный коэффициент знак обращён.
8. № 8. После приведения: x ≥ 2 и x ≤ 2, значит в R: {2}. В Z: {2}. При делении на отрицательный коэффициент знак обращён.
9. № 9. После приведения: x > 0 и x ≤ 0, значит в R: ∅. В Z: ∅. При делении на отрицательный коэффициент знак обращён.
10. № 10. После приведения: x > −7/3 и x < 8/3, значит в R: (−7/3; 8/3). В Z: {−2, −1, 0, 1, 2}. При делении на отрицательный коэффициент знак обращён.
11. № 11. После приведения: x ≥ 1/5 и x ≤ 9/5, значит в R: [1/5; 9/5]. В Z: {1}. Укажите, почему обе найденные границы включены или исключены.
12. № 12. После приведения: x > −11/4 и x ≤ −3/4, значит в R: (−11/4; −3/4]. В Z: {−2, −1}. При делении на отрицательный коэффициент знак обращён.
13. № 13. После приведения: x > 6 и x ≤ 11, значит в R: (6; 11]. В Z: {7, 8, 9, 10, 11}. При делении на отрицательный коэффициент знак обращён.
14. № 14. После приведения: x ≥ −3 и x ≤ 1, значит в R: [−3; 1]. В Z: {−3, −2, −1, 0, 1}. При делении на отрицательный коэффициент знак обращён.
15. № 15. После приведения: x > 7/2 и x < 9/2, значит в R: (7/2; 9/2). В Z: {4}. При делении на отрицательный коэффициент знак обращён.
16. № 16. После приведения: x ≥ −3/4 и x ≤ 9/4, значит в R: [−3/4; 9/4]. В Z: {0, 1, 2}. При делении на отрицательный коэффициент знак обращён.
17. № 17. После приведения: x > 5 и x < 5, значит в R: ∅. В Z: ∅. При делении на отрицательный коэффициент знак обращён.
18. № 18. После приведения: x > −8/3 и x ≤ 11/3, значит в R: (−8/3; 11/3]. В Z: {−2, −1, 0, 1, 2, 3}. При делении на отрицательный коэффициент знак обращён.

Как исправить типичную ошибку

Если в ответ попала лишняя крайняя точка, проверьте знак < против ≤. Если потеряно отрицательное целое число, выпишите короткий ряд на числовой прямой, например −4, −3, −2, −1, 0. Если получено слишком много чисел, убедитесь, что вы пересекли два ограничения, а не объединили их. На финише подставьте самое маленькое и самое большое число ответа в обе исходные части.