Выявление ошибочного изменения знака при системе с противоположными ограничениями — задачи с решениями для 8 класса
8 класс · Алгебра · Неравенства. Цель: обнаруживать неверное направление знака в системах, когда ограничения дают разные стороны числовой прямой; различать промежуток, единственную точку и пустое множество.
Содержание статьи5 разделов
Противоположные ограничения: когда пересечение исчезает
Здесь легко ошибиться дважды: неверно разделить отрицательное выражение и затем объединить несовместимые ограничения. Каждая строка таблицы — отдельная система, то есть требуется удовлетворить обеим строкам сразу. Обозначьте на числовой прямой нижнюю и верхнюю границы, затем оставьте только их общую часть.
Например, из −2x < −10 следует x > 5. Если одновременно 3x ≤ 12, то x ≤ 4. Ответ пуст, поскольку невозможно одновременно быть больше 5 и не больше 4. Ошибочная запись x < 5 меняет смысл условия на противоположный. В этом практикуме некоторые системы действительно не имеют решений: это не недостаток данных, а содержательный ответ.
Таблица «условие → ошибка → правильное пересечение»
| Номер | Исходная система | Предложенный ошибочный шаг |
|---|---|---|
| 1 | −2x < −4
и
3x − 1 ≤ 23 |
«После деления на отрицательное число знак не меняется». Проверьте и исправьте. |
| 2 | −3x + 1 ≤ 4
и
2x ≤ 8 |
«После деления на отрицательное число знак не меняется». Проверьте и исправьте. |
| 3 | −4x − 1 < −21
и
2x + 1 < 3 |
«После деления на отрицательное число знак не меняется». Проверьте и исправьте. |
| 4 | −3x ≤ 6
и
2x − 2 ≤ −6 |
«После деления на отрицательное число знак не меняется». Проверьте и исправьте. |
| 5 | −2x + 1 ≤ −11
и
5x − 1 ≤ 29 |
«После деления на отрицательное число знак не меняется». Проверьте и исправьте. |
| 6 | −4x − 1 < 11
и
2x < 2 |
«После деления на отрицательное число знак не меняется». Проверьте и исправьте. |
| 7 | −3x ≤ 0
и
x + 1 < 8 |
«После деления на отрицательное число знак не меняется». Проверьте и исправьте. |
| 8 | −2x + 1 < −13
и
4x − 2 ≤ 14 |
«После деления на отрицательное число знак не меняется». Проверьте и исправьте. |
| 9 | −4x − 1 ≤ 19
и
3x − 1 ≤ −13 |
«После деления на отрицательное число знак не меняется». Проверьте и исправьте. |
| 10 | −2x ≤ −22
и
3x < 39 |
«После деления на отрицательное число знак не меняется». Проверьте и исправьте. |
| 11 | −4x + 1 < −11
и
2x + 1 < −11 |
«После деления на отрицательное число знак не меняется». Проверьте и исправьте. |
| 12 | −2x − 1 ≤ 0
и
4x − 2 ≤ 4 |
«После деления на отрицательное число знак не меняется». Проверьте и исправьте. |
| 13 | −5x < −20
и
2x − 1 ≤ 7 |
«После деления на отрицательное число знак не меняется». Проверьте и исправьте. |
| 14 | −2x + 1 ≤ 1
и
3x ≤ 0 |
«После деления на отрицательное число знак не меняется». Проверьте и исправьте. |
| 15 | −3x − 1 < 20
и
5x + 1 < 11 |
«После деления на отрицательное число знак не меняется». Проверьте и исправьте. |
Контрольный приём: проверка в обе стороны
Если вышел непустой интервал, возьмите внутреннюю точку и подставьте её в обе первоначальные строки. Если вышло пустое множество, сравните нижнюю и верхнюю границы; при точном совпадении проверьте, не строгий ли хотя бы один знак. Нельзя объявлять решением объединение двух промежутков: союз «и» в системе требует пересечения.
Решения к таблице
- № 1. Из первого условия: x > 2, из второго: x ≤ 8. Ответ (2; 8]. Концы промежутка включаются только там, где стоит нестрогий знак. Ошибка ученика — знак в первом неравенстве должен быть обращён.
- № 2. Из первого условия: x ≥ −1, из второго: x ≤ 4. Ответ [−1; 4]. Концы промежутка включаются только там, где стоит нестрогий знак. Ошибка ученика — знак в первом неравенстве должен быть обращён.
- № 3. Из первого условия: x > 5, из второго: x < 1. Ответ ∅. Нижняя граница не меньше верхней (или совпали границы со строгим знаком), общего x нет. Ошибка ученика — знак в первом неравенстве должен быть обращён.
- № 4. Из первого условия: x ≥ −2, из второго: x ≤ −2. Ответ {−2}. Обе границы включены и совпали: единственное число удовлетворяет обеим частям. Ошибка ученика — знак в первом неравенстве должен быть обращён.
- № 5. Из первого условия: x ≥ 6, из второго: x ≤ 6. Ответ {6}. Обе границы включены и совпали: единственное число удовлетворяет обеим частям. Ошибка ученика — знак в первом неравенстве должен быть обращён.
- № 6. Из первого условия: x > −3, из второго: x < 1. Ответ (−3; 1). Концы промежутка включаются только там, где стоит нестрогий знак. Ошибка ученика — знак в первом неравенстве должен быть обращён.
- № 7. Из первого условия: x ≥ 0, из второго: x < 7. Ответ [0; 7). Концы промежутка включаются только там, где стоит нестрогий знак. Ошибка ученика — знак в первом неравенстве должен быть обращён.
- № 8. Из первого условия: x > 7, из второго: x ≤ 4. Ответ ∅. Нижняя граница не меньше верхней (или совпали границы со строгим знаком), общего x нет. Ошибка ученика — знак в первом неравенстве должен быть обращён.
- № 9. Из первого условия: x ≥ −5, из второго: x ≤ −4. Ответ [−5; −4]. Концы промежутка включаются только там, где стоит нестрогий знак. Ошибка ученика — знак в первом неравенстве должен быть обращён.
- № 10. Из первого условия: x ≥ 11, из второго: x < 13. Ответ [11; 13). Концы промежутка включаются только там, где стоит нестрогий знак. Ошибка ученика — знак в первом неравенстве должен быть обращён.
- № 11. Из первого условия: x > 3, из второго: x < −6. Ответ ∅. Нижняя граница не меньше верхней (или совпали границы со строгим знаком), общего x нет. Ошибка ученика — знак в первом неравенстве должен быть обращён.
- № 12. Из первого условия: x ≥ −1/2, из второго: x ≤ 3/2. Ответ [−1/2; 3/2]. Концы промежутка включаются только там, где стоит нестрогий знак. Ошибка ученика — знак в первом неравенстве должен быть обращён.
- № 13. Из первого условия: x > 4, из второго: x ≤ 4. Ответ ∅. Нижняя граница не меньше верхней (или совпали границы со строгим знаком), общего x нет. Ошибка ученика — знак в первом неравенстве должен быть обращён.
- № 14. Из первого условия: x ≥ 0, из второго: x ≤ 0. Ответ {0}. Обе границы включены и совпали: единственное число удовлетворяет обеим частям. Ошибка ученика — знак в первом неравенстве должен быть обращён.
- № 15. Из первого условия: x > −7, из второго: x < 2. Ответ (−7; 2). Концы промежутка включаются только там, где стоит нестрогий знак. Ошибка ученика — знак в первом неравенстве должен быть обращён.
Полезный вопрос к каждой строке: что произойдёт, если заменить строгий знак нестрогим? Не всегда изменится результат: если верхняя и нижняя границы далеко друг от друга, пересечение сохраняет форму; если они совпали, одна закрытая точка может решить судьбу системы.
Четыре обязательные проверки
- Перепишите оба исходных условия, не меняя их смысл.
- Отдельно выделите переменную x. Если делили на отрицательное число, переверните знак.
- Нарисуйте две границы, отмечая включённость точек кружком или скобкой.
- Запишите точное пересечение; при пустом результате укажите причину противоречия.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.