Выявление ошибочного изменения знака при дробных коэффициентах — математический практикум для 8 класса

8 класс · Алгебра · Неравенства. Цель: разобрать знак при делении неравенства на отрицательный дробный коэффициент и подтверждать исправление обратной подстановкой.

Разобранный образец с обратной проверкой

Рассмотрим −(3/4)x + 1/2 > 5/4. Вычитаем 1/2: −(3/4)x > 3/4. При делении на −3/4 получаем x < −1. Сверим результат исходной подстановкой: x = −2 даёт −(3/4)·(−2) + 1/2 = 2, и 2 > 5/4 действительно верно. Ошибочная граница x > −1 пропустила бы число 0, но при x = 0 слева только 1/2, а 1/2 > 5/4 неверно.

Здесь дробь со знаком «минус» означает отрицательное число целиком. Не путайте −3/4 и 3/(−4): оба они отрицательные, поэтому при делении любого линейного неравенства на них знак обращается. Сначала переносите слагаемое, потом делите на коэффициент при x; не округляйте знаменатель.

Изменённое условие: 8 задач с отрицательными и положительными коэффициентами

1. № 1. (−2/3)x + 1/5 < 7/5. Ученик после переноса слагаемого записал x < −9/5. Проверьте знак и исправьте решение. В конце подберите целое контрольное значение x.
2. № 2. (3/4)x − 5/6 > 1/3. Ученик после переноса слагаемого записал x < 14/9. Проверьте знак и исправьте решение. В конце подберите целое контрольное значение x.
3. № 3. (−5/8)x + 3/2 ≥ −1/4. Ученик после переноса слагаемого записал x ≥ 14/5. Проверьте знак и исправьте решение. В конце подберите целое контрольное значение x.
4. № 4. (−7/10)x − 2/5 ≤ 3/10. Ученик после переноса слагаемого записал x ≤ −1. Проверьте знак и исправьте решение. В конце подберите целое контрольное значение x.
5. № 5. (4/9)x + 1/6 < 13/18. Ученик после переноса слагаемого записал x > 5/4. Проверьте знак и исправьте решение. В конце подберите целое контрольное значение x.
6. № 6. (−3/7)x + 2/7 > 11/7. Ученик после переноса слагаемого записал x > −3. Проверьте знак и исправьте решение. В конце подберите целое контрольное значение x.
7. № 7. (−1/6)x − 1/3 < 2/3. Ученик после переноса слагаемого записал x < −6. Проверьте знак и исправьте решение. В конце подберите целое контрольное значение x.
8. № 8. (5/12)x − 7/12 ≥ 1/4. Ученик после переноса слагаемого записал x ≤ 2. Проверьте знак и исправьте решение. В конце подберите целое контрольное значение x.

Самостоятельная серия: 8 дополнительных карточек

9. № 9. (−4/5)x + 2/3 ≥ −2/15. Ученик после переноса слагаемого записал x ≥ 1. Проверьте знак и исправьте решение. В конце подберите целое контрольное значение x.
10. № 10. (−9/11)x + 1/11 < 10/11. Ученик после переноса слагаемого записал x < −1. Проверьте знак и исправьте решение. В конце подберите целое контрольное значение x.
11. № 11. (3/8)x + 3/4 ≤ 3/2. Ученик после переноса слагаемого записал x ≥ 2. Проверьте знак и исправьте решение. В конце подберите целое контрольное значение x.
12. № 12. (−5/6)x − 1/3 > 7/6. Ученик после переноса слагаемого записал x > −9/5. Проверьте знак и исправьте решение. В конце подберите целое контрольное значение x.
13. № 13. (−2/9)x + 4/9 ≥ −2/9. Ученик после переноса слагаемого записал x ≥ 3. Проверьте знак и исправьте решение. В конце подберите целое контрольное значение x.
14. № 14. (7/15)x + 1/5 > 4/3. Ученик после переноса слагаемого записал x < 17/7. Проверьте знак и исправьте решение. В конце подберите целое контрольное значение x.
15. № 15. (−11/12)x + 5/6 ≤ −1/12. Ученик после переноса слагаемого записал x ≤ 1. Проверьте знак и исправьте решение. В конце подберите целое контрольное значение x.
16. № 16. (−3/10)x − 3/5 < −9/10. Ученик после переноса слагаемого записал x < 1. Проверьте знак и исправьте решение. В конце подберите целое контрольное значение x.

Подробная обратная проверка

Ключ приводится для каждой задачи. Контрольное число подбирается из правильного множества решений; оно должно удовлетворять исходному неравенству. Если число, предложенное неправильным ответом, не подходит, ошибка наглядно доказана. Обратная проверка не заменяет доказательство эквивалентности всех преобразований, а дополняет его.

1. № 1. Перенос постоянного слагаемого: −2/3x < 6/5. Коэффициент −2/3 отрицателен — знак разворачивается. Верно: x > −9/5. При x = 0 слева: −2/3·(0) + 1/5 = 1/5, что действительно < 7/5.
2. № 2. Перенос постоянного слагаемого: 3/4x > 7/6. Коэффициент 3/4 положителен — знак сохраняется. Верно: x > 14/9. При x = 3 слева: 3/4·(3) − 5/6 = 17/12, что действительно > 1/3.
3. № 3. Перенос постоянного слагаемого: −5/8x ≥ −7/4. Коэффициент −5/8 отрицателен — знак разворачивается. Верно: x ≤ 14/5. При x = 1 слева: −5/8·(1) + 3/2 = 7/8, что действительно ≥ −1/4.
4. № 4. Перенос постоянного слагаемого: −7/10x ≤ 7/10. Коэффициент −7/10 отрицателен — знак разворачивается. Верно: x ≥ −1. При x = 0 слева: −7/10·(0) − 2/5 = −2/5, что действительно ≤ 3/10.
5. № 5. Перенос постоянного слагаемого: 4/9x < 5/9. Коэффициент 4/9 положителен — знак сохраняется. Верно: x < 5/4. При x = 0 слева: 4/9·(0) + 1/6 = 1/6, что действительно < 13/18.
6. № 6. Перенос постоянного слагаемого: −3/7x > 9/7. Коэффициент −3/7 отрицателен — знак разворачивается. Верно: x < −3. При x = −4 слева: −3/7·(−4) + 2/7 = 2, что действительно > 11/7.
7. № 7. Перенос постоянного слагаемого: −1/6x < 1. Коэффициент −1/6 отрицателен — знак разворачивается. Верно: x > −6. При x = −5 слева: −1/6·(−5) − 1/3 = 1/2, что действительно < 2/3.
8. № 8. Перенос постоянного слагаемого: 5/12x ≥ 5/6. Коэффициент 5/12 положителен — знак сохраняется. Верно: x ≥ 2. При x = 3 слева: 5/12·(3) − 7/12 = 2/3, что действительно ≥ 1/4.
9. № 9. Перенос постоянного слагаемого: −4/5x ≥ −4/5. Коэффициент −4/5 отрицателен — знак разворачивается. Верно: x ≤ 1. При x = 0 слева: −4/5·(0) + 2/3 = 2/3, что действительно ≥ −2/15.
10. № 10. Перенос постоянного слагаемого: −9/11x < 9/11. Коэффициент −9/11 отрицателен — знак разворачивается. Верно: x > −1. При x = 0 слева: −9/11·(0) + 1/11 = 1/11, что действительно < 10/11.
11. № 11. Перенос постоянного слагаемого: 3/8x ≤ 3/4. Коэффициент 3/8 положителен — знак сохраняется. Верно: x ≤ 2. При x = 1 слева: 3/8·(1) + 3/4 = 9/8, что действительно ≤ 3/2.
12. № 12. Перенос постоянного слагаемого: −5/6x > 3/2. Коэффициент −5/6 отрицателен — знак разворачивается. Верно: x < −9/5. При x = −3 слева: −5/6·(−3) − 1/3 = 13/6, что действительно > 7/6.
13. № 13. Перенос постоянного слагаемого: −2/9x ≥ −2/3. Коэффициент −2/9 отрицателен — знак разворачивается. Верно: x ≤ 3. При x = 2 слева: −2/9·(2) + 4/9 = 0, что действительно ≥ −2/9.
14. № 14. Перенос постоянного слагаемого: 7/15x > 17/15. Коэффициент 7/15 положителен — знак сохраняется. Верно: x > 17/7. При x = 4 слева: 7/15·(4) + 1/5 = 31/15, что действительно > 4/3.
15. № 15. Перенос постоянного слагаемого: −11/12x ≤ −11/12. Коэффициент −11/12 отрицателен — знак разворачивается. Верно: x ≥ 1. При x = 2 слева: −11/12·(2) + 5/6 = −1, что действительно ≤ −1/12.
16. № 16. Перенос постоянного слагаемого: −3/10x < −3/10. Коэффициент −3/10 отрицателен — знак разворачивается. Верно: x > 1. При x = 2 слева: −3/10·(2) − 3/5 = −6/5, что действительно < −9/10.

Когда ошибка кажется незаметной

Частая ловушка — дробный коэффициент со знаком минус и положительный свободный член. Ученик правильно переносит свободный член, но затем делит на модуль коэффициента и теряет минус. Другой риск — «сокращение» слагаемых через знак неравенства: сокращать можно множители обеих частей только с учётом их знака. Если множитель содержит переменную, он может оказаться и положительным, и отрицательным; тогда нельзя делить без отдельного исследования знака.

Для самостоятельного исправления выпишите после каждой задачи три строки: исходное условие; изолированное произведение a·x; верная граница после деления на a. Внизу выполните одну точную подстановку с дробями. Такой протокол помогает отличить ошибки переноса от ошибок направления знака.