Поиск ошибки в координатах точки при переходе через начало координат — упражнения разной сложности, 6 класс

Три контрольных вопроса без подсказок

В каждой записи ученик утверждает, что отрезок между точками проходит через начало координат O(0; 0). Ответьте «верно» или «ошибка» и назовите причину. Под «переходом через O» здесь понимается прохождение по самому отрезку, а не просто смена знака x.

1. 1. A(−3; −2), B(3; 2). Ученик: «O не лежит на отрезке». Найдите ошибку.
2. 2. A(−5; 2), B(5; −2). Ученик: «O лежит на отрезке». Найдите ошибку.
3. 3. A(−2; 3), B(2; 3). Ученик: «O лежит на отрезке». Найдите ошибку.

Короткое правило перед продолжением

Если O является серединой отрезка AB, то B имеет обе координаты, противоположные координатам A: из (a; b) получаем (−a; −b). Но для прохождения через O длины AO и OB могут быть разными: например, от (−2; 1) до (6; −3) отрезок проходит через O, хотя O не является серединой.

Продолжение: восстанови или опровергни

4. 4. У точки A(−4; 1) симметричная относительно O точка B записана как (4; 1). Исправьте.
5. 5. Из A(7; −2) при симметрии относительно O ученик получил (−7; −2). Исправьте.
6. 6. О — середина AB, A(−6; −3), B названо (6; −3). Какой B нужен?
7. 7. О — середина MN, M(5; 8), N записано (−5; 8). Найдите N.
8. 8. Из (−3; 4) в (3; −4): проходит ли путь через O?
9. 9. Из (−2; 1) в (6; −3): верно ли, что O не лежит на пути из-за разной длины?
10. 10. Из (−4; 5) в (4; 5): какая точка достигается при x = 0?
11. 11. Из (−3; −1) в (9; 3): ученик считает, что O — середина. Прав?
12. 12. Из (6; −2) в (−3; 1): на какой части пути находится O?

Ответы — 12 пунктов

1. 1. O действительно лежит на отрезке; утверждение ученика ошибочно. Точки лежат по разные стороны O на одной прямой.
2. 2. O действительно лежит на отрезке; утверждение ученика верно. Точки лежат по разные стороны O на одной прямой.
3. 3. O не принадлежит отрезку; утверждение ученика ошибочно. При x = 0 ордината равна 3, а не 0.

4. 4. (4; −1). Нужны противоположные обе координаты.
5. 5. (−7; 2). Знак второй координаты тоже меняется.
6. 6. (6; 3). Две координаты меняются одновременно.
7. 7. (−5; −8). Середина должна иметь координаты (0; 0).
8. 8. Да. Конец является противоположной точкой.
9. 9. Нет. Векторы от O направлены противоположно и пропорциональны.
10. 10. (0; 5). Это ось Oy, но не O.
11. 11. Нет. Отрезок проходит через O, но расстояния 1:3.
12. 12. На отрезке, ближе к (−3; 1). От O до (−3; 1) расстояние вдвое меньше.

Самопроверка: сначала посмотрите, совпадают ли направления OA и OB с одной прямой. Смена знака только абсциссы недостаточна. Для середины дополнительно проверьте средние координаты: (x₁ + x₂) : 2 = 0 и (y₁ + y₂) : 2 = 0. Если хотя бы одна сумма не ноль, запись середины ошибочна.

Один полезный приём: проверьте, получается ли конечная точка умножением начальных координат на одно отрицательное число. Для A(−2; 1), B(6; −3) коэффициент равен −3 для обеих координат, поэтому O находится между ними. Для A(−2; 3), B(2; 3) коэффициенты должны были бы одновременно быть −1 и +1 — это невозможно. Следовательно, через O такая прямая не проходит. Проверять только знак x недостаточно.

Если O — середина, коэффициент именно −1; если начало координат просто лежит на отрезке, коэффициент может быть любым отрицательным. Этим различаются задачи про середину и задачи про пересечение. В ответе полезно писать одно из трёх: «проходит и O — середина», «проходит, но O не середина» или «не проходит». Такая формулировка точнее общего ответа «пересекает ось».