Восстановление вершины ломаной по таблице последовательных перемещений — диагностика ошибок, 6 класс

Задача-наблюдение: неизвестная вершина внутри маршрута

В ломаной A→B→C→D пропала запись вершины B. Известно, что после B выполнили два хода, а последнюю точку D сохранили. Для восстановления удобно начать с конца. Например, A(−5; 2), шаги A→B = (+7; −3), B→C = (−2; −4), C→D = (+4; +1). Конец D(4; −4). Если отменить последний ход, получим C(0; −5); если отменить второй — B(2; −1). Прямое движение A→B подтверждает результат.

Наблюдение. Каждый вектор перемещения можно отменить противоположным: движение (u; v) отменяется движением (−u; −v). Выдвиньте собственное правило восстановления пропущенной вершины и проверьте его на первой таблице. Важно отличать ошибочную промежуточную запись от случая, где данных просто недостаточно.

Таблица опытов: восстановление B по конечной точке

Задания 1–5: в каждой строке вычислите B двумя способами: прямым ходом A→B и обратным из D через C. Запишите, совпали ли результаты; при совпадении объясните, почему вся таблица внутренне согласована.

Найдите первичную ошибку в ученическом отчёте

Задания 6–10: установите, какая именно запись B испорчена. Для объяснения не ограничивайтесь фразой «неверный знак»: покажите, какую пару координат даёт ход от A, и восстановите B из D через два последних шага.

Проверка правила на контрпримерах

11. 11. A(2; −3) и D(7; 4) известны. Записаны только два конечных пункта, но не известны перемещения. Можно ли найти B однозначно?
12. 12. Известны B→C = (+3; −5), C→D = (−1; +4), D(8; 2). Сколько возможных B?
13. 13. Известны A(−4; 1), A→B = (+6; −2), но конечная D потерялась. Можно ли найти B?
14. 14. В отчёте D(0; 0), B→C = (+4; +1), C→D = (−4; −1). Ученик записал B(0; 0). Верно?

Вывод и полный разбор

Сформулированное правило: чтобы восстановить B по D, надо последовательно вычесть из D вектор C→D, затем вектор B→C. Это даёт B = D − (C→D) − (B→C). Если известен A→B, можно проверить B вторым независимым способом: B = A + (A→B). Равенство двух результатов не случайность, а свойство сложения векторов по цепочке.

Ключ таблицы наблюдений

1. 1. Из D(0; 0) обратным ходом (−5; 2) находим C(−5; 2); затем (3; −5) даёт B(−2; −3). Проверка: A(−6; 4) + (4; −7) = B(−2; −3).
2. 2. Из D(1; 0) обратным ходом (2; 5) находим C(3; 5); затем (−6; −6) даёт B(−3; −1). Проверка: A(8; −3) + (−11; 2) = B(−3; −1).
3. 3. Из D(1; −1) обратным ходом (−3; −2) находим C(−2; −3); затем (5; 4) даёт B(3; 1). Проверка: A(−4; −8) + (7; 9) = B(3; 1).
4. 4. Из D(5; 2) обратным ходом (−7; −6) находим C(−2; −4); затем (−2; 8) даёт B(−4; 4). Проверка: A(5; 7) + (−9; −3) = B(−4; 4).
5. 5. Из D(−4; −2) обратным ходом (3; 5) находим C(−1; 3); затем (4; −7) даёт B(3; −4). Проверка: A(−9; 2) + (12; −6) = B(3; −4).

Исправления неверных строк

6. 6. Ошибка в записанной вершине B: нужно (−2; 4), а не (−1; 4). Затем C(−6; 1), D(−3; 9); обратные ходы от D тоже приводят к (−2; 4).
7. 7. Ошибка в записанной вершине B: нужно (−2; 1), а не (−2; −1). Затем C(5; −1), D(2; 4); обратные ходы от D тоже приводят к (−2; 1).
8. 8. Ошибка в записанной вершине B: нужно (−2; −2), а не (−5; −1). Затем C(4; 2), D(−3; 5); обратные ходы от D тоже приводят к (−2; −2).
9. 9. Ошибка в записанной вершине B: нужно (−1; −4), а не (1; −2). Затем C(3; 3), D(2; −2); обратные ходы от D тоже приводят к (−1; −4).
10. 10. Ошибка в записанной вершине B: нужно (8; −2), а не (7; −3). Затем C(2; −3), D(4; 3); обратные ходы от D тоже приводят к (8; −2).

Контрпримеры и пределы метода

11. 11. Нет: допустимы B(0; 0) и B(3; 2), а также множество других вершин; отсутствует информация о звеньях.
12. 12. Один: C(9; −2), B(6; 3). Начало A для восстановления B не обязательно.
13. 13. Да: B(2; −1); конец D здесь не нужен.
14. 14. Да: C(4; 1), затем D(0; 0); обратный проход даёт B(0; 0).

Что показывает исследование? Если известна только начальная и конечная точка ломаной, вершина не определяется: разные маршруты имеют одинаковые концы. Однако достаточно знать последние два вектора и конечную точку — и B становится единственной. Поэтому нельзя «угадывать» недостающую координату по нарисованной форме; сначала проверьте, хватает ли исходных сведений.

Итоговая самостоятельная проверка: закройте в таблице столбец B и вычислите его снова в обратном порядке, а затем сравните с прямым переходом. Если ответы различаются, ищите первую неверно записанную строку и пересчитывайте только зависящие от неё вершины. При переходе через оси знак может поменяться, но сам по себе этот факт не является ошибкой.

Почему прямой и обратный расчёт обязаны совпасть

Обозначим перемещения через u, v и w. По цепочке A→B→C→D получаем D = A + u + v + w. Отсюда B = A + u. С другой стороны, если вычесть из D два последних перемещения, получим D − w − v = A + u = B. Мы не используем особых свойств рисунка: только правило сложения и вычитания соответствующих координат. Доказательство работает в каждой из четырёх четвертей и при пересечении осей, потому что знаки чисел уже учтены в арифметике.

Проверьте, что отмена векторов отличается от простого изменения порядка их записи. При обратном проходе сначала отменяем C→D, а не A→B. Если поменять порядок отрицаний, сумма некоторых векторов случайно может оказаться правильной, но промежуточная точка C будет неправильной. Диагностика ученической таблицы требует именно восстановления каждой вершины, а не только совпадения общей суммы.

Разбор двух принципиально разных ситуаций

Первая ситуация: в таблице известны A, три вектора и конечная D, но ученик неверно записал B. Здесь информации даже больше, чем нужно: B восстанавливается и по A + u, и по D − w − v. Если два независимых результата совпали, можно уверенно назвать правильные координаты. Если они разошлись, ошибка могла затронуть не только запись B, но также один из векторов или конечную точку. Нельзя объявлять конкретное поле неверным, пока условия не позволяют это сделать.

Вторая ситуация: известны лишь A и D, а промежуточный маршрут не описан. Тогда вершина B может располагаться где угодно на плоскости. Например, из A(2; −3) в D(7; 4) можно сначала пойти к B(0; 0), а можно — к B(3; 2): в обоих случаях получится ломаная с указанными концами. Это наглядный контрпример к ошибочному правилу «по двум концам всегда можно восстановить промежуточную точку». Для единственного ответа нужны дополнительные сведения о хотя бы части звеньев.

Чему учит поиск первичной ошибки

Если в задании 6 ученик неправильно записал B, то все следующие вычисления от его B могут быть последовательными, но неверными относительно исходного маршрута. Чтобы не спорить о каждой последующей строке, достаточно найти точку первого расхождения с исходным вектором A→B. Затем можно заново вычислить C и D. Здесь проверка конца играет роль второго независимого источника данных: она подтверждает исправление и не позволяет случайно подобрать знак.

При объяснении собственного решения полезно произнести три фразы: «Я знаю последнее перемещение», «я отменяю его и нахожу предыдущую точку», «я проверяю восстановленную вершину прямым ходом». Если на втором шаге знак изменения y отрицательный, при отмене он станет положительным. Это простое правило особенно часто нарушается, когда ломаная несколько раз пересекает горизонтальную ось Ox.

Задания для обсуждения после таблиц

Обсудите, всегда ли увеличение координаты x означает движение из левой полуплоскости в правую. Нет: из x = −9 при прибавлении 4 получим x = −5, оставаясь слева от Oy. Аналогично изменение знака y при переходе из C в D не доказывает, что сама промежуточная вершина B определена ошибочно. Важна согласованность всех соседних координат с данными векторами, а не внешнее впечатление от знаков.

Итоговый критерий качества решения: восстановленная B должна одновременно выполнять оба условия — равняться A + (A→B) и совпадать с D − (C→D) − (B→C). Если выполняется только одно, такое решение не годится. После проверки можно дополнительно отметить четверть B, но сама по себе четверть не заменяет арифметической проверки.