Восстановление вершины ломаной при переходе через начало координат: тренажёр для 6 класса

Сначала найдите ошибку в решённой задаче

Ученик решал задачу: A(−2; 1), C(5; −4), от B к C нужно пройти (+1; −2). Он записал B(6; −2). Ошибка: если C = B + (+1; −2), то B = C − (+1; −2) = (4; −2). Отрезок A→B при этом действительно проходит через начало координат: B = −2A. Исправленная ломаная A→B→C удовлетворяет обоим условиям.

Полезно не смешивать две проверки. Восстановление вершины выполняют обратным ходом от C. А проверка перехода через O требует, чтобы A и B лежали на одной прямой через O и по разные стороны от него. Обычная смена четверти не гарантирует прохождение через O.

Пять типичных ошибок: исправьте запись ученика

1. 1. A(3; 2), C(−5; −5), ход B→C = (1; −1). Ученик записал B(−6; 4); проверьте и исправьте.
2. 2. A(−4; 1), C(5; 3), ход B→C = (−3; 5). Ученик записал B(8; 2); проверьте и исправьте.
3. 3. A(2; −3), C(1; 4), ход B→C = (5; −2). Ученик записал B(−4; −6); проверьте и исправьте.
4. 4. A(−3; −2), C(7; 2), ход B→C = (−2; −4). Ученик записал B(9; −6); проверьте и исправьте.
5. 5. A(4; −1), C(−2; 5), ход B→C = (6; 3). Ученик записал B(8; 2); проверьте и исправьте.

У каждого случая две части ответа: правильные координаты B и короткий довод, почему восстановленная ломаная действительно пересекает O на первом звене. Не исправляйте B по картинке: сначала выполните вычитание по двум координатам.

Тренажёр: восстановите B и оцените утверждение

Для пунктов 6–15 нужны два вывода: единственная вершина B по обратному ходу и «да/нет» о пересечении начала координат звеном AB. В некоторых строках у A и B меняются оба знака, однако прямой через O они не образуют: это намеренные ловушки.

Разбор ответов

Исправленные ошибки

1. 1. B(−6; −4): C(−5; −5) − (1; −1) = (−6; −4). Это противоположное направление к A(3; 2), так что AB проходит через O. Запись ученика (−6; 4) не подходит.
2. 2. B(8; −2): C(5; 3) − (−3; 5) = (8; −2). Это противоположное направление к A(−4; 1), так что AB проходит через O. Запись ученика (8; 2) не подходит.
3. 3. B(−4; 6): C(1; 4) − (5; −2) = (−4; 6). Это противоположное направление к A(2; −3), так что AB проходит через O. Запись ученика (−4; −6) не подходит.
4. 4. B(9; 6): C(7; 2) − (−2; −4) = (9; 6). Это противоположное направление к A(−3; −2), так что AB проходит через O. Запись ученика (9; −6) не подходит.
5. 5. B(−8; 2): C(−2; 5) − (6; 3) = (−8; 2). Это противоположное направление к A(4; −1), так что AB проходит через O. Запись ученика (8; 2) не подходит.

Восстановление и проверка

6. 6. B(4; 6) = C(7; 1) − (3; −5); да, отрезок AB проходит через O: B лежит на противоположном луче той же прямой через O.
7. 7. B(−10; 4) = C(−11; 1) − (−1; −3); да, отрезок AB проходит через O: B лежит на противоположном луче той же прямой через O.
8. 8. B(6; −8) = C(8; −7) − (2; 1); да, отрезок AB проходит через O: B лежит на противоположном луче той же прямой через O.
9. 9. B(−8; −6) = C(−14; −4) − (−6; 2); да, отрезок AB проходит через O: B лежит на противоположном луче той же прямой через O.
10. 10. B(3; −15) = C(8; −17) − (5; −2); да, отрезок AB проходит через O: B лежит на противоположном луче той же прямой через O.
11. 11. B(9; 3) = C(5; 9) − (−4; 6); да, отрезок AB проходит через O: B лежит на противоположном луче той же прямой через O.
12. 12. B(5; −4) = C(6; 3) − (1; 7); нет, отрезок AB не проходит через O: A и B не лежат на одной прямой с O; смена знаков не доказывает пересечения.
13. 13. B(−8; 9) = C(−10; 6) − (−2; −3); нет, отрезок AB не проходит через O: A и B не лежат на одной прямой с O; смена знаков не доказывает пересечения.
14. 14. B(6; 9) = C(10; 10) − (4; 1); нет, отрезок AB не проходит через O: A и B не лежат на одной прямой с O; смена знаков не доказывает пересечения.
15. 15. B(−7; −4) = C(−4; −10) − (3; −6); нет, отрезок AB не проходит через O: A и B не лежат на одной прямой с O; смена знаков не доказывает пересечения.

Как избежать похожих ошибок

В задании на переход через начало координат сначала восстанавливайте B арифметически. Затем спросите, можно ли получить B из A умножением обеих координат на одно и то же отрицательное число. Если да, точки лежат на противоположных лучах и отрезок проходит через O. Если коэффициенты для координат разные, то через O отрезок не проходит.

Итог: звено A→B и звено B→C играют разные роли. По второму звену мы вычисляем недостающую вершину, по первому — проверяем переход через O. Два независимых условия защищают от ситуации, когда ответ выглядит симметрично, но противоречит заданному перемещению.