Отражение точки относительно оси абсцисс — рабочий лист для 6 класса

Правило и способ построения

Ось абсцисс Ox — горизонтальная координатная ось, где все точки имеют y = 0. Чтобы отразить точку M(x; y) относительно Ox, сохраняйте абсциссу x и заменяйте знак ординаты y: M′(x; −y). Если y = 0, точка уже находится на оси и совпадает со своим отражением.

Начертите координатные оси, выберите одинаковый масштаб на них, отметьте исходную точку и проведите через неё вертикальный отрезок до Ox. Продлите его на то же число единиц по другую сторону оси. Полученная точка — отражение. Отрезок MM′ перпендикулярен Ox, а ось пересекает его в середине.

Три разобранных примера

1. A(4; 3) → A′(4; −3). x остаётся 4; точка на 3 единицы ниже оси вместо 3 выше.
2. B(−2; −5) → B′(−2; 5). x остаётся −2; снизу переходим наверх, расстояние 5 не меняется.
3. C(7; 0) → C′(7; 0). точка на Ox неподвижна: её y равен нулю.

Потренируйтесь: координаты без чертежа

Для пунктов 1–6 укажите M′. Для 7–10 сначала постройте точки на клетчатой бумаге, потом подпишите координаты. Для 11–14 используйте подсказку или восстановите неизвестную исходную точку. В графических заданиях 1 клетка = 1 координатная единица.

1. Отразите M(3; 8) относительно Ox. Запишите M′(_____ ; _____). Подсказка: x не меняется.
2. Отразите M(-6; 2) относительно Ox. Запишите M′(_____ ; _____). Подсказка: x не меняется.
3. Отразите M(5; -4) относительно Ox. Запишите M′(_____ ; _____). Подсказка: x не меняется.
4. Отразите M(-9; -1) относительно Ox. Запишите M′(_____ ; _____).
5. Отразите M(0; 7) относительно Ox. Запишите M′(_____ ; _____).
6. Отразите M(8; 0) относительно Ox. Запишите M′(_____ ; _____).
7. Отразите M(-3; -6) относительно Ox. Запишите M′(_____ ; _____).
8. Отразите M(12; 5) относительно Ox. Запишите M′(_____ ; _____).
9. Отразите M(-7; 0) относительно Ox. Запишите M′(_____ ; _____).
10. Отразите M(1; -9) относительно Ox. Запишите M′(_____ ; _____).
11. В точке P(4; 0) поставили отражение P′(−4; 0). Найдите ошибку и укажите правильную пару координат.
12. После отражения относительно Ox получили Q′(−2; 11). Восстановите исходную точку Q и объясните обратный ход.
13. Исходная точка R(−10; −3). Вычислите расстояние RR′ в единицах и назовите координаты R′.
14. Точка S(6; −8) отражена в Ox. Верно ли, что середина SS′ имеет координаты (6; 0)? Проверьте вычислением.

Поэтапная проверка ответов

1. M′(3; -8). Абсцисса 3 не меняется; ордината 8 превращается в -8.

2. M′(-6; -2). Абсцисса -6 не меняется; ордината 2 превращается в -2.

3. M′(5; 4). Абсцисса 5 не меняется; ордината -4 превращается в 4.

4. M′(-9; 1). Абсцисса -9 не меняется; ордината -1 превращается в 1.

5. M′(0; -7). Абсцисса 0 не меняется; ордината 7 превращается в -7.

6. M′(8; 0). Абсцисса 8 не меняется; ордината 0 превращается в 0.

7. M′(-3; 6). Абсцисса -3 не меняется; ордината -6 превращается в 6.

8. M′(12; -5). Абсцисса 12 не меняется; ордината 5 превращается в -5.

9. M′(-7; 0). Абсцисса -7 не меняется; ордината 0 превращается в 0.

10. M′(1; 9). Абсцисса 1 не меняется; ордината -9 превращается в 9.

11. Отражение P′(4; 0): точка на Ox остаётся на месте. Изменять x с 4 на −4 было бы действием для другой оси.

12. Q(−2; −11). Отражение обратимо: меняем знак y у Q′(−2; 11), x сохраняем.

13. R′(−10; 3); RR′ = |3 − (−3)| = 6 единиц. Отрезок вертикальный, поэтому вычисляем разность ординат.

14. Да: отражение S′(6; 8). Координаты середины: ((6+6)/2; (−8+8)/2) = (6; 0), то есть она лежит на Ox.

Рисунок на клетчатой бумаге: подробная проверка

Если точка лежит над осью, для её отражения отсчитайте от горизонтальной линии вниз ровно столько же клеток. Например, для точки с высотой четыре клетки нужно опуститься на четыре клетки ниже нулевой линии. Если точка изначально расположена ниже оси, движение будет обратным: к оси, а затем вверх на прежнее расстояние. При этом положение слева или справа от вертикальной оси не меняется. Именно это означает сохранение первой координаты, даже когда она отрицательна.

Для точек на Ox нужно отдельно отметить правило нуля. Ордината 0 при смене знака остаётся 0, поэтому нет двух разных точек: исходная и отражённая совпадают. Это не ошибка построения. Попросите ученика объяснить этот случай словами, а не только записать координаты. Объяснение «точка уже на зеркальной линии» надёжнее механического запоминания знаков.

Почему расстояние между точкой и образом удваивается

Пусть y — ордината исходной точки. Расстояние до горизонтальной оси равно |y|. Образ находится на таком же расстоянии с другой стороны. Поэтому расстояние от исходной точки до образа равно 2|y| координатных единиц. Если y = 0, эта длина равна нулю. Например, у точки на высоте −3 единицы образ расположен на высоте +3; между ними шесть единиц. Мы получаем тот же вывод из разности ординат: |y − (−y)| = 2|y|.

Как не перепутать оси

В записи (x; y) первое число показывает горизонтальное положение, второе — вертикальное. Отражение в горизонтальной оси Ox меняет именно вертикальное положение, поэтому трогать x не нужно. Если ученик поменял знак первого числа, он отразил точку относительно другой оси — вертикальной Oy. Если изменил оба знака, получилось отражение относительно начала координат. Это три различные операции, хотя на чертеже они иногда дают похожие результаты, особенно когда одна из координат равна нулю.

В заданиях с построением полезно записать сначала исходную пару координат, затем её отражение и только после этого наносить обе точки на сетку. Обязательно проверяйте одинаковый масштаб слева и справа по x и выше и ниже по y. Если горизонтальный отрезок соединяет M и M′, а осью должна быть Ox, построение почти наверняка ошибочно, кроме случая совпадения точек. Правильный соединяющий отрезок перпендикулярен Ox, то есть вертикален.

Контрольный алгоритм

Убедитесь, что ось отражения именно горизонтальная. Запишите исходные (x; y), зачеркните только знак второй координаты, проверьте одинаковое расстояние до Ox. Повторное отражение возвращает исходную точку: (x; −(−y)) = (x; y). Если исходная точка лежала на оси, никакой второй точки строить не нужно.