Отражение точки относительно оси ординат — практикум с ответами для 6 класса

Отражение относительно Oy: что меняется

Ось ординат Oy вертикальна; на ней x = 0. При отражении относительно Oy изменяется знак только абсциссы: (x; y) → (−x; y). Ордината сохраняется, потому что отражённая точка остаётся на той же высоте. Модуль x — расстояние до вертикальной оси. Если x = 0, точка не перемещается.

Наглядный пример: T(−4; 6) находится в четырёх клетках слева от Oy. T′(4; 6) — на четыре клетки справа, на прежней высоте 6. Две точки соединяет горизонтальный отрезок длиной восемь клеток. Ошибка T′(4; −6) означает смену сразу двух координат и не является нужным отражением.

Граничные случаи: три проверки до вычислений

1. На оси Oy: U(0; −8) → U′(0; −8). У отражения нет нового местоположения.
2. На оси Ox, но не на Oy: V(−9; 0) → V′(9; 0). Ноль остаётся нулём.
3. Дробная координата: W(1,5; 2) → W′(−1,5; 2). Знак дробного x меняется точно так же, как целого.

Уровень 1 — быстрота и точность (1–10)

1. Отразите A(4; 7) в Oy и укажите координаты образа.
2. Отразите A(-5; 3) в Oy и укажите координаты образа.
3. Отразите A(8; -2) в Oy и укажите координаты образа.
4. Отразите A(-6; -9) в Oy и укажите координаты образа.
5. Отразите A(0; 5) в Oy и укажите координаты образа.
6. Отразите A(9; 0) в Oy и укажите координаты образа.
7. Отразите A(-1; 11) в Oy и укажите координаты образа.
8. Отразите A(12; -4) в Oy и укажите координаты образа.
9. Отразите A(-3; 0) в Oy и укажите координаты образа.
10. Отразите A(0; -7) в Oy и укажите координаты образа.

Уровень 2 — координаты с отрицательными и дробными числами (11–16)

1. Найдите образ точки B(2,5; 6) относительно Oy; определите, совпадает ли он с B.
2. Найдите образ точки B(-1,5; -4) относительно Oy; определите, совпадает ли он с B.
3. Найдите образ точки B(0,25; 0) относительно Oy; определите, совпадает ли он с B.
4. Найдите образ точки B(14; -1) относительно Oy; определите, совпадает ли он с B.
5. Найдите образ точки B(-12; 8) относительно Oy; определите, совпадает ли он с B.
6. Найдите образ точки B(7; -13) относительно Oy; определите, совпадает ли он с B.

Уровень 3 — обратные и доказательные задачи (17–24)

1. После отражения в Oy получена точка K′(−13; 4). Запишите координаты K.
2. Точка L(−7; −2) отражена в Oy. Найдите длину LL′ в координатных единицах.
3. Отражение точки M имеет координаты M′(0; 12). Назовите возможную исходную точку M.
4. Точка N(−3; 5) и её отражение N′ соединены отрезком. Найдите координаты середины NN′.
5. При отражении P(4; −1) ученик написал P′(−4; 1). Исправьте ответ и назовите лишнюю операцию.
6. Точка Q имеет абсциссу x = −11. После отражения в Oy её абсцисса равна 11. Могла ли ордината измениться с 2 на 7?
7. Найдите все значения x, при которых точка R(x; −6) не изменится после отражения относительно Oy.
8. Исходная точка S(−2; 9). После двух последовательных отражений относительно Oy найдите S″ и объясните почему.

Ответы к уровням 1 и 2

1. (-4; 7). Проверка: ордината 7 сохранена, |x|=4 единицы от Oy с каждой стороны.

2. (5; 3). Проверка: ордината 3 сохранена, |x|=5 единицы от Oy с каждой стороны.

3. (-8; -2). Проверка: ордината -2 сохранена, |x|=8 единицы от Oy с каждой стороны.

4. (6; -9). Проверка: ордината -9 сохранена, |x|=6 единицы от Oy с каждой стороны.

5. (0; 5). Проверка: ордината 5 сохранена, |x|=0 единицы от Oy с каждой стороны. Точка лежит прямо на Oy и неподвижна.

6. (-9; 0). Проверка: ордината 0 сохранена, |x|=9 единицы от Oy с каждой стороны.

7. (1; 11). Проверка: ордината 11 сохранена, |x|=1 единицы от Oy с каждой стороны.

8. (-12; -4). Проверка: ордината -4 сохранена, |x|=12 единицы от Oy с каждой стороны.

9. (3; 0). Проверка: ордината 0 сохранена, |x|=3 единицы от Oy с каждой стороны.

10. (0; -7). Проверка: ордината -7 сохранена, |x|=0 единицы от Oy с каждой стороны. Точка лежит прямо на Oy и неподвижна.

11. (-2,5; 6). Проверка: ордината 6 сохранена, |x|=2,5 единицы от Oy с каждой стороны.

12. (1,5; -4). Проверка: ордината -4 сохранена, |x|=1,5 единицы от Oy с каждой стороны.

13. (-0,25; 0). Проверка: ордината 0 сохранена, |x|=0,25 единицы от Oy с каждой стороны.

14. (-14; -1). Проверка: ордината -1 сохранена, |x|=14 единицы от Oy с каждой стороны.

15. (12; 8). Проверка: ордината 8 сохранена, |x|=12 единицы от Oy с каждой стороны.

16. (-7; -13). Проверка: ордината -13 сохранена, |x|=7 единицы от Oy с каждой стороны.

Подробные решения повышенного уровня

1. 17. K(13; 4). Чтобы найти прообраз, снова меняем знак первой координаты; отражение само себе обратное.
2. 18. L′(7; −2). Горизонтальное расстояние LL′ = 7 − (−7) = 14 единиц; удвоили |−7|.
3. 19. Только M(0; 12). Отражение в Oy не меняет точку, которая уже находится на Oy.
4. 20. N′(3; 5), середина NN′ имеет координаты ((−3+3)/2; (5+5)/2) = (0; 5), то есть на Oy.
5. 21. P′(−4; −1). Нельзя заменять −1 на 1: знак y при вертикальном отражении не меняется.
6. 22. Нет, если это только отражение в Oy. Для Q(−11; 2) образ Q′(11; 2); высота сохраняется.
7. 23. x = 0, потому что x = −x ⇒ 2x = 0. Точка R(0; −6) расположена на самой оси.
8. 24. S′(2; 9), S″(−2; 9) = S. Два раза поменяли знак x, поэтому получили первоначальные координаты.

Почему первая координата меняет знак

Ось ординат состоит из точек вида (0; y). Поэтому горизонтальное расстояние от точки (x; y) до этой оси равно |x|. Для зеркального отражения нужно пройти на такое же расстояние в противоположную горизонтальную полуплоскость. Если точка была справа, её образ окажется слева; если слева — справа. Высота при таком переходе неизменна: обе точки имеют одну и ту же вторую координату y. Так получается правило (x; y) → (−x; y), а не просто условная инструкция «меняем плюс на минус».

Если x отрицателен, знак минус перед скобкой меняет его на положительный. Поэтому запись «у исходной точки x = −5, у образа x = 5» точна. Нельзя дополнительно менять знак y только потому, что новая точка переместилась в другую часть рисунка. Отдельно проверьте дробные координаты: при x = 0,25 отражение имеет x = −0,25; никакого округления до нуля нет. Если клетка на рисунке соответствует двум единицам, половина единицы занимает лишь четверть клетки — правило при этом не изменяется, меняется только удобство построения.

Обратная задача и проверка отрезком

Если известны координаты образа, исходную точку получаем тем же действием: меняем знак x ещё один раз. Это удобно при решении заданий, где даны только координаты K′. Равенство горизонтальных расстояний можно проверить и по середине отрезка: для исходной точки и отражения первая координата середины равна (x + (−x))/2 = 0, а вторая равна (y+y)/2 = y. Следовательно, середина лежит на вертикальной оси. Обратное верно при сохранении одинаковой высоты точек.

Для точек с x = 0 нет двух различных концов отрезка: отражение совпадает с исходной точкой. В заданиях на расстояние не забывайте, что длина между двумя отражёнными точками равна 2|x| единиц, даже если y — большое отрицательное число. Отрицательные координаты допустимы, но отрицательной длины не бывает. При работе на бумаге полезно пометить шаги: «сохрани y», «поменяй знак x», «проверь расстояния до Oy». Это исключает ошибки при одновременной работе с отрицательными числами и координатными осями.

Проверка на чертеже и объяснение для учителя

Для графической проверки ставьте вертикальную прямую x=0, затем откладывайте одинаковое число клеток слева и справа от неё на уровне исходного y. Если отрезок между точками наклонен, где-то изменена вторая координата или нарушен масштаб. Случай x=0 — не исключение из правила, а его прямое следствие. Переход между дробными и целыми координатами не требует округлений.

Оценивание: задания 1–16 — по 1 баллу; задания 17–24 — по 2 балла, из них 1 за координаты и 1 за объяснение. Итого 32 балла. Работа охватывает прямые построения, граничные случаи, обратимость и проверку геометрического смысла операции.