Отражение точки относительно начала координат: пошаговые задания для 6 класса

Зачем нужна смена двух знаков

При отражении относительно начала координат O(0; 0) точка и её образ лежат на одной прямой через O, по разные стороны от него и на одинаковом расстоянии. Правило для M(x; y): M′(−x; −y). Это центральная симметрия, а не отражение относительно одной координатной оси. Например, G(−2; 5) превращается в G′(2; −5).

Шесть чужих ошибок — найдите и исправьте

Перед чтением исправлений попробуйте самостоятельно заменить каждую ошибочную запись. Зафиксируйте, какой именно знак изменён неправильно.

1. Ученик записал: A(5; 2) → A′(−5; 2). Правильно ли он выполнил симметрию относительно O? Напишите исправление.
2. Ученик записал: B(−4; 7) → B′(4; 7). Правильно ли он выполнил симметрию относительно O? Напишите исправление.
3. Ученик записал: C(0; −9) → C′(9; 0). Правильно ли он выполнил симметрию относительно O? Напишите исправление.
4. Ученик записал: D(−6; 0) → D′(−6; 0). Правильно ли он выполнил симметрию относительно O? Напишите исправление.
5. Ученик записал: E(−3; −8) → E′(−3; 8). Правильно ли он выполнил симметрию относительно O? Напишите исправление.
6. Ученик записал: F(0; 0) → F′(1; 1). Правильно ли он выполнил симметрию относительно O? Напишите исправление.

Девять самостоятельных шагов

1. H(7; −3). Найдите H′ и назовите четверть, в которой находится образ.
2. J(−9; 4). Найдите J′ и объясните смену знаков.
3. K(0; 12). Определите K′ и длину KK′.
4. L(−5; 0). Найдите L′ и длину LL′.
5. M(2; 11) отражена в начале координат. Укажите M′.
6. N′(−8; −6) — образ точки N. Восстановите N.
7. P(−1; −10) и P′. Вычислите координаты середины отрезка PP′.
8. Q(3; 3). Каков результат двух последовательных отражений относительно начала координат?
9. R(x; −4) при отражении относительно O превратилась в R′(−6; 4). Определите x.

Исправленные решения — в чём была ошибка

1. Исправление: A′(−5; −2). Изменён только x, хотя при отражении в начале координат нужно изменить оба знака.
2. Исправление: B′(4; −7). Сохранён положительный y вместо перехода к −7.
3. Исправление: C′(0; 9). Координаты местами менять не надо; нулевой x остаётся нулём.
4. Исправление: D′(6; 0). Точка на Ox, но не в начале координат, при центральной симметрии меняет положение.
5. Исправление: E′(3; 8). Нужно сменить знак и у x; полученная неверная точка соответствовала бы отражению в Ox.
6. Исправление: F′(0; 0). Начало координат — единственная неподвижная точка центральной симметрии.

Как распознавать центральную симметрию без догадок

При центральной симметрии центр O должен находиться строго посередине отрезка, который соединяет исходную точку и её образ. Для пары M(x; y), M′(x′; y′) это означает два равенства: x + x′ = 0 и y + y′ = 0. Если хотя бы одна сумма отлична от нуля, решение неверно. Такой способ проверки помогает даже в случаях, когда точки не нарисованы. Например, для координат с разными знаками мы всё равно проверяем каждую сумму отдельно.

Нельзя переносить свойство неподвижных точек с осей координат на центр. При отражении относительно Ox любая точка с y = 0 остаётся на месте, а при отражении относительно Oy — любая точка с x = 0. Но при симметрии относительно начала координат неподвижна только O(0; 0), ведь должны выполняться одновременно равенства x = −x и y = −y. Из них следует x = 0 и y = 0.

Полезно различать знаки и перестановку координат. Центральная симметрия не превращает (x; y) в (y; x): она сохраняет порядок чисел. То, что x иногда оказывается равным y, не меняет правило. При x = 0 меняется знак y; при y = 0 меняется знак x. Если обе координаты ненулевые, меняются оба знака. Эти три случая полностью охватывают точки координатной плоскости и объясняют все шесть примеров с ошибками.

Проверка после построения

Нарисуйте отрезок от точки к её образу: линия должна проходить через O. Затем посчитайте клетки от O до каждого конца. Длины обязаны совпасть. Повторное отражение даёт исходную точку, потому что каждый знак меняется два раза. Если на чертеже после двух действий получилась новая точка, проверьте, не изменили ли случайно масштаб или порядок координат.

Ключ к самостоятельным шагам

1. H′(−7; 3), II четверть: отрицательный x и положительный y.
2. J′(9; −4): −9 заменяем на +9, +4 — на −4.
3. K′(0; −12), KK′ = 24 ед., так как |12 − (−12)| = 24.
4. L′(5; 0), LL′ = 10 ед., обе точки лежат на Ox.
5. M′(−2; −11), оба знака поменялись.
6. N(8; 6), потому что повторное отражение возвращает исходную точку.
7. P′(1; 10); середина ((−1+1)/2; (−10+10)/2) = (0; 0).
8. После первого отражения Q′(−3; −3), после второго Q″(3; 3): возвращаемся к Q.
9. x = 6; первая координата образа равна −x = −6, значит x положителен.

Проверка смыслом: у отражённых точек середина всегда O(0; 0). Если хотя бы одна координата середины не равна нулю, преобразование выполнено неверно. Половины отрезка от O к исходной точке и от O к её образу равны. Для отметки ставьте 1 балл за исправление каждой ошибки и 1 балл за каждый самостоятельный ответ — всего 15 баллов.