Построение прямоугольника по координатам вершин — задания на закрепление, 6 класс

Школьный проект: план участка по координатам

Координаты точек — это адреса вершин на сетке. Для задач ниже стороны прямоугольников параллельны координатным осям. Поэтому горизонтальную длину находим по разности x, вертикальную — по разности y. Если масштаб задан как 1 единица координат = k метров, разности координат сначала умножаем на k. Площадь измеряем в м², периметр — в метрах. Прямоугольник проводим последовательно по четырём вершинам и замыкаем контур.

Исходные данные для трёх объектов

Математическая модель: как решить задачу

Для цветника A координатная ширина 8 − 1 = 7 ед., координатная высота 6 − 2 = 4 ед. Масштаб 2 м/ед. даёт реальные стороны 14 м и 8 м. Периметр P = 2 × (14 + 8) = 44 м, площадь S = 14 × 8 = 112 м². Координаты D(1; 6) проверяются тем, что у D и A одинаковый x, у D и C одинаковый y. Если нарисовать D(2; 6), левая сторона перестанет быть вертикальной.

Три связанные серии задач

1. Постройте на координатной бумаге четыре вершины цветника A. Какие отрезки горизонтальны, а какие вертикальны?
2. Найдите длину AB и BC в единицах координат и в метрах. Укажите единицы в обеих строках.
3. Вычислите периметр цветника A. Сколько метров ограждения понадобится без учёта ворот?
4. Вычислите площадь цветника A в м²; поясните, почему ответ не записывают в метрах.
5. Монтажник перенёс D из (1; 6) в (2; 6). Останется ли ABCD прямоугольником со сторонами, параллельными осям? Как исправить запись?
6. На схеме сцены B найдите длины EF и FG сначала в координатных единицах, затем в метрах.
7. Для сцены B найдите площадь настила в квадратных метрах.
8. Вычислите длину ограничительной ленты по периметру сцены B в метрах.
9. Для сцены B укажите точку пересечения диагоналей EG и FH в координатах сетки.
10. При построении склада C потерялась четвёртая вершина. Даны K(0; −3), L(5; −3), M(5; 1); найдите N.
11. Найдите реальные длину и ширину склада C, если одна координатная единица соответствует 3 метрам.
12. Какова площадь склада C и длина ограждения по его контуру?
13. Сравните площади цветника A и сцены B. Во сколько раз первая больше второй? Объясните, почему нельзя сравнивать только числа клеток без масштаба.
14. Можно ли заменить вершину N(0; 1) на N(0; −1) и при этом сохранить тот же прямоугольник C? Проверьте две пары равных координат.
15. На плане цветника один дополнительный метр ограждения стоит 300 тенге. Сколько стоит полностью оградить его периметр 44 м? Здесь цена указана за погонный метр.

Проверочные решения: геометрия и единицы

1. Задание 1. AB и CD горизонтальны (одинаковые y = 2 и y = 6 соответственно); BC и AD вертикальны (одинаковые x = 8 и x = 1). Соединять вершины нужно в порядке A–B–C–D–A.
2. Задание 2. AB = 8 − 1 = 7 ед. × 2 м/ед. = 14 м; BC = 6 − 2 = 4 ед. × 2 м/ед. = 8 м.
3. Задание 3. P = 2 × (14 м + 8 м) = 44 м. Ограждение — линейная величина, не м².
4. Задание 4. S = 14 м × 8 м = 112 м²: метры при умножении превращаются в квадратные метры.
5. Задание 5. Нет: у A абсцисса x = 1, у неверной D x = 2, значит AD не вертикальна. Исправление: D(1; 6).
6. Задание 6. EF = 2 − (−4) = 6 ед. = 3 м; FG = 3 − (−1) = 4 ед. = 2 м. Масштаб именно 0,5 м/ед.
7. Задание 7. S = 3 м × 2 м = 6 м². Нельзя умножать 6 × 4 как будто каждая единица равна метру.
8. Задание 8. P = 2 × (3 + 2) = 10 м.
9. Задание 9. Середина EG: ((−4+2)/2; (−1+3)/2) = (−1; 1), та же середина FH.
10. Задание 10. N(0; 1): x берём у K, y у M; вертикальная KN имеет x=0, горизонтальная NM имеет y=1.
11. Задание 11. KL = 5 − 0 = 5 ед. = 15 м; LM = 1 − (−3) = 4 ед. = 12 м.
12. Задание 12. S = 15 × 12 = 180 м²; P = 2 × (15 + 12) = 54 м.
13. Задание 13. 112 м² : 6 м² = 56/3 = 18⅔ раза. У A масштаб 2 м/ед., у B — 0,5 м/ед., поэтому геометрические единицы из разных планов несопоставимы без перевода.
14. Задание 14. Нет. У верхней горизонтали M и N должны иметь одинаковое y = 1; N(0; −1) нарушает это условие. Нужна N(0; 1).
15. Задание 15. 44 м × 300 тенге/м = 13 200 тенге. Единица длины сокращается; результат — сумма денег.

Почему масштаб важен для площади

Если расстояние на плане увеличивается в k раз при переходе к действительным размерам, периметр также увеличивается в k раз, а площадь — в k² раз. Для цветника шаг 2 м соответствует площади одной клетки сетки 2 м × 2 м = 4 м². Прямоугольник занимает 7 × 4 = 28 координатных квадратов; поэтому 28 × 4 = 112 м². Это независимая проверка площади, найденной по реальным сторонам 14 и 8 м. Для сцены один квадрат координатной сетки имеет площадь только 0,25 м², так как шаг равен 0,5 м. Отсюда 6 × 4 × 0,25 = 6 м². При сравнении разных планов проверка масштаба особенно важна.

Как проверять чертёж

На каждом из трёх планов ищите два различных значения x и два различных значения y: все четыре сочетания должны присутствовать. В наших задачах x и y — координаты на прямоугольной сетке одинакового масштаба по обеим осям. Если поменять местами x и y только в одной вершине, нарушится горизонтальность или вертикальность. Если масштаб выражен в м/ед., каждый результат в единицах сетки нужно перевести в метры до вычисления площади.

Критерии: 1 балл за обоснованное построение или правильный выбор координат, 1 за расчёт, 1 за проверку единиц там, где они требуются. Для задач 3, 4, 7, 8, 12, 15 особенно важна запись «м» или «м²». Здесь математическая модель полезнее угадывания формы по изображению: она позволяет проверять схему даже без рисунка.