Умножение трёх двучленов в правильном порядке — тренажёр по математике, 7 класс

Мини-тест, 7 класс. В заданиях есть выбор ответа, вычисления, объяснение хода решения и проверка ошибок. Работайте без калькулятора: цель — научиться последовательно умножать три двучлена, а не просто получать конечный коэффициент.

Алгоритм перед тестом

Для произведения трёх скобок сначала перемножьте любые две скобки, приведите подобные члены, а затем умножьте полученный многочлен на оставшийся двучлен. Используйте распределительный закон: каждый член первого множителя умножается на каждый член второго. Если встречаются (a − b)(a + b), сначала примените разность квадратов a² − b².

Контроль результата: степень произведения трёх линейных двучленов обычно равна 3, а старший коэффициент — произведение коэффициентов при переменной в каждом множителе. Свободный член — произведение трёх свободных членов. Числовая подстановка помогает заметить ошибку, но не заменяет раскрытия скобок.

Мини-тест: выбрать, вычислить, объяснить

1. Выберите, какое действие удобнее выполнить первым для (x + 6)(x − 6)(x + 2): А — умножить первые два двучлена; Б — раскрыть сразу все три скобки; В — сложить все свободные члены. Объясните выбор.
2. Для (2a + 1)(a − 4)(a + 4) выберите верное промежуточное произведение последних скобок: А — a² + 16; Б — a² − 16; В — 2a² − 8.
3. Раскройте скобки: (x + 2)(x + 3)(x + 4).
4. Раскройте скобки: (a − 1)(a + 2)(a + 5).
5. Раскройте скобки: (y − 3)(y + 1)(y − 2).
6. Раскройте скобки: (2x + 1)(x − 2)(x + 3).
7. Упростите, начиная с разности квадратов: (m + 4)(m − 4)(m + 1).
8. Раскройте три скобки и соберите подобные члены: (3t − 2)(t + 1)(t − 3).
9. Найдите многочлен: (2a − 3)(a + 3)(a − 1).
10. Найдите многочлен: (z + 2)(z − 5)(2z + 1).
11. Укажите коэффициент при x² в произведении (x + 2)(x + 3)(x + 4).
12. Найдите свободный член произведения (a − 1)(a + 2)(a + 5) без полного раскрытия скобок.
13. Проверьте подстановкой x = 1, что раскрытие (x + 2)(x + 3)(x + 4) выполнено правильно: вычислите значение двумя путями.
14. Ученик получил x³ + 3x² − 4x − 12 из (x + 3)(x − 2)(x + 2). Верно ли? Найдите ошибку, если она есть.
15. При умножении (x − 1)(x + 1)(x + 5) ученик написал x³ + 5x² − x + 5. В какой части знаков ошибка?
16. Объясните, почему для (x − 7)(x + 7)(x + 1) сначала стоит применить формулу разности квадратов, и запишите результат.

Лист ответов и пояснения

1. А: два двучлена дают x² − 36, затем остаётся умножить результат на x + 2. Порядок не меняет значение, но уменьшает риск пропуска членов.
2. Б: (a − 4)(a + 4) = a² − 16; после этого произведение равно 2a³ + a² − 32a − 16.
3. x³ + 9x² + 26x + 24. Сначала (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6, затем умножаем на x + 4.
4. a³ + 6a² + 3a − 10. Промежуточно (a − 1)(a + 2) = a² + a − 2.
5. y³ − 4y² + y + 6. Промежуточно (y − 3)(y + 1) = y² − 2y − 3.
6. 2x³ + 3x² − 11x − 6. Промежуточно (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6.
7. m³ + m² − 16m − 16. Здесь (m + 4)(m − 4) = m² − 16.
8. 3t³ − 8t² − 5t + 6. Удобно сначала получить (t + 1)(t − 3) = t² − 2t − 3.
9. 2a³ + a² − 12a + 9. Промежуточно (a + 3)(a − 1) = a² + 2a − 3.
10. 2z³ − 5z² − 23z − 10. Промежуточно (z + 2)(z − 5) = z² − 3z − 10.
11. Коэффициент 9: при умножении трёх скобок он равен сумме свободных членов 2 + 3 + 4 при старшем коэффициенте 1.
12. −10: свободный член равен произведению (−1)·2·5.
13. В исходном произведении (1 + 2)(1 + 3)(1 + 4) = 3·4·5 = 60; в результате 1 + 9 + 26 + 24 = 60. Такая подстановка подтверждает один частный случай, а не тождество сама по себе.
14. Да, верно. (x − 2)(x + 2) = x² − 4, поэтому (x + 3)(x² − 4) = x³ + 3x² − 4x − 12. Ответ ученика как раз верен: умение распознавать верное решение тоже проверяется.
15. В конце должно быть −5, а не +5: (x − 1)(x + 1) = x² − 1; верно x³ + 5x² − x − 5.
16. Первые скобки — сопряжённые: (x − 7)(x + 7) = x² − 49. Итог: x³ + x² − 49x − 49.

Разбор спорных вариантов

Задание 1: ответы «раскрыть сразу» не обязательно математически неверны, но это менее надёжная запись: без промежуточной строки легко пропустить одно из восьми произведений. Задание проверяет выбор рационального порядка, а не законность перестановки множителей.

Задание 14: намеренно содержит правильное преобразование. Нельзя объявлять ошибкой решение только потому, что в нём промежуточные действия выполнены в другом порядке.

Задания 12 и 13: постоянный член и подстановка дают быстрый контроль, но для доказательства тождества нужны корректные алгебраические преобразования.

Самопроверка: 1 балл за каждое верное задание, в заданиях 1, 13–16 балл засчитывается лишь вместе с объяснением. Максимум — 16 баллов; отметьте отдельно ошибки знака и ошибки приведения подобных членов.