Определение формулы прямой по точке и угловому коэффициенту: задачи и решения для 7 класса
Проверочная работа для 7 класса. Вам известны одна точка прямой и её угловой коэффициент. Требуется определить формулу y = kx + b, проверить найденное значение b и не путать заданный наклон с координатами точки.
Содержание статьи6 разделов
Короткая опора: одна точка и наклон задают прямую
Пусть прямая проходит через A(x₀; y₀) и имеет известный угловой коэффициент k. Тогда y₀ = kx₀ + b, следовательно, b = y₀ − kx₀. Полученную формулу полезно записывать также как y − y₀ = k(x − x₀); обе формы описывают одну и ту же прямую.
Пример с дробным наклоном: точка (2; 7), коэффициент k = 3/2. Тогда b = 7 − (3/2)·2 = 4. Ответ y = (3/2)x + 4. Проверка: при x = 2 получаем y = 3 + 4 = 7, точка подходит. Если k = 0, получится горизонтальная прямая y = y₀.
Базовый уровень: задания 1–12
Найдите b, затем запишите окончательную формулу. Для каждого номера покажите одну подстановку, подтверждающую, что заданная точка принадлежит прямой.
| № | Заданная точка (x₀; y₀) | Угловой коэффициент k | Ваше b и формула |
|---|---|---|---|
| 1 | (1; 5) |
2 |
______________________ |
| 2 | (3; 1) |
-2 |
______________________ |
| 3 | (0; -4) |
3 |
______________________ |
| 4 | (-2; 7) |
1 |
______________________ |
| 5 | (4; 0) |
-1 |
______________________ |
| 6 | (-3; -2) |
4 |
______________________ |
| 7 | (2; -1) |
0 |
______________________ |
| 8 | (5; 8) |
1/2 |
______________________ |
| 9 | (-4; 3) |
-3/2 |
______________________ |
| 10 | (6; -5) |
2/3 |
______________________ |
| 11 | (-1; 0) |
-5 |
______________________ |
| 12 | (3; -2) |
-1/3 |
______________________ |
Повышенный уровень: задания 13–20
Здесь встречаются отрицательные координаты и дробные коэффициенты. Все заданные прямые имеют конечный наклон, поэтому записываются как y = kx + b. Не округляйте дроби: точность проверяется подстановкой.
| № | Точка A | k | Вычисление b |
|---|---|---|---|
| 13 | (2; 9) |
5/2 |
______________________ |
| 14 | (-6; 4) |
1/3 |
______________________ |
| 15 | (4; 7) |
-5/4 |
______________________ |
| 16 | (-2; -3) |
3/2 |
______________________ |
| 17 | (0; 0) |
-2/5 |
______________________ |
| 18 | (7; -1) |
1/7 |
______________________ |
| 19 | (-5; 6) |
-4/5 |
______________________ |
| 20 | (8; 3) |
3/4 |
______________________ |
Критерии самопроверки
- 1 балл за верный свободный член
bи 1 балл за верную формулу — итого 40 баллов за 20 заданий. - Проверка обязательна: подставьте координаты заданной точки в итоговое уравнение. При невыполненной проверке максимальная оценка за конкретное задание ограничивается одним баллом.
- Если в условии
k = 0, не ищите «деление на нуль»: прямая горизонтальная. Вертикальная прямаяx = cне имеет конечного углового коэффициента и в этой работе не задаётся.
Полные ответы с проверкой
| № | Вычисление b = y₀ − kx₀ | Искомая прямая | Проверка точки |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 − (2)·(1) = 3 |
y = 2x + 3 |
2·(1) + (3) = 5 |
| 2 | 1 − (-2)·(3) = 7 |
y = −2x + 7 |
-2·(3) + (7) = 1 |
| 3 | -4 − (3)·(0) = -4 |
y = 3x − 4 |
3·(0) + (-4) = -4 |
| 4 | 7 − (1)·(-2) = 9 |
y = x + 9 |
1·(-2) + (9) = 7 |
| 5 | 0 − (-1)·(4) = 4 |
y = −x + 4 |
-1·(4) + (4) = 0 |
| 6 | -2 − (4)·(-3) = 10 |
y = 4x + 10 |
4·(-3) + (10) = -2 |
| 7 | -1 − (0)·(2) = -1 |
y = −1 |
0·(2) + (-1) = -1 |
| 8 | 8 − (1/2)·(5) = 11/2 |
y = (1/2)x + 11/2 |
1/2·(5) + (11/2) = 8 |
| 9 | 3 − (-3/2)·(-4) = -3 |
y = (−3/2)x − 3 |
-3/2·(-4) + (-3) = 3 |
| 10 | -5 − (2/3)·(6) = -9 |
y = (2/3)x − 9 |
2/3·(6) + (-9) = -5 |
| 11 | 0 − (-5)·(-1) = -5 |
y = −5x − 5 |
-5·(-1) + (-5) = 0 |
| 12 | -2 − (-1/3)·(3) = -1 |
y = (−1/3)x − 1 |
-1/3·(3) + (-1) = -2 |
| 13 | 9 − (5/2)·(2) = 4 |
y = (5/2)x + 4 |
5/2·(2) + (4) = 9 |
| 14 | 4 − (1/3)·(-6) = 6 |
y = (1/3)x + 6 |
1/3·(-6) + (6) = 4 |
| 15 | 7 − (-5/4)·(4) = 12 |
y = (−5/4)x + 12 |
-5/4·(4) + (12) = 7 |
| 16 | -3 − (3/2)·(-2) = 0 |
y = (3/2)x |
3/2·(-2) + (0) = -3 |
| 17 | 0 − (-2/5)·(0) = 0 |
y = (−2/5)x |
-2/5·(0) + (0) = 0 |
| 18 | -1 − (1/7)·(7) = -2 |
y = (1/7)x − 2 |
1/7·(7) + (-2) = -1 |
| 19 | 6 − (-4/5)·(-5) = 2 |
y = (−4/5)x + 2 |
-4/5·(-5) + (2) = 6 |
| 20 | 3 − (3/4)·(8) = -3 |
y = (3/4)x − 3 |
3/4·(8) + (-3) = 3 |
Дополнительная проверка на понимание
Одной точки без заданного наклона недостаточно: через неё проходят бесконечно многие прямые с разными k. И наоборот, одного наклона без точки недостаточно, потому что меняется b. Зная и точку, и коэффициент k, вы однозначно определяете прямую.
Контрольная ошибка: в выражении b = y₀ − kx₀ минус относится ко всему произведению kx₀. Например, если x₀ = −2 и k = −3, то kx₀ = +6, значит b = y₀ − 6. Дробные значения оставляйте точными: округление может нарушить принадлежность точки прямой.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.