Определение моды у ряда с двумя наиболее частыми значениями — проверочная работа, 7 класс

Проверочная работа в формате тренажёра. Одна из самых распространённых ошибок при нахождении моды — искать самое большое число вместо самого частого. Здесь все основные ряды устроены так, что ровно два разных значения встречаются с одинаковой максимальной частотой: распределение называется двумодальным.

Памятка перед тренировкой

Мода — значение, которое встречается чаще других. Если числа 4 и 9 встречаются по 3 раза, а остальные — не более 2 раз, у набора две моды: 4 и 9. Если два разных значения встречаются чаще прочих, нельзя записать среднее между ними или выбрать одно наугад. В каждом задании требуется указать оба значения и их частоту.

Для контроля полезна маленькая таблица «значение — сколько раз встречается». Сумма всех частот обязана равняться числу элементов ряда. Например, в наборе (2; 5; 2; 7; 5; 9) частоты: 2 — два раза, 5 — два раза, 7 и 9 — по одному. Две моды: 2 и 5.

Серия A. Быстрое распознавание: 8 заданий

1. Найдите две моды ряда: (2; 4; 4; 2; 14; 11). Укажите частоты обеих мод.
2. Найдите две моды ряда: (14; 17; 5; 20; 8; 5; 8). Укажите частоты обеих мод.
3. Найдите две моды ряда: (26; 12; 12; 20; 8; 23; 8; 17). Укажите частоты обеих мод.
4. Найдите две моды ряда: (20; 11; 11; 23; 13; 13). Укажите частоты обеих мод.
5. Найдите две моды ряда: (29; 17; 14; 26; 17; 14; 23). Укажите частоты обеих мод.
6. Найдите две моды ряда: (21; 29; 26; 17; 21; 35; 32; 17). Укажите частоты обеих мод.
7. Найдите две моды ряда: (20; 22; 29; 22; 20; 32). Укажите частоты обеих мод.
8. Найдите две моды ряда: (38; 23; 26; 32; 23; 35; 26). Укажите частоты обеих мод.

Промежуточная самопроверка: во всех восьми рядах есть по две моды, но это не два самых больших числа. Обязательно отмечайте количество повторений.

Серия Б. Таблица и доказательство: 8 заданий

1. Составьте таблицу частот для ряда (26; 30; 26; 26; 44; 38; 30; 30; 35; 41). Найдите все моды; объясните, почему нельзя выбрать одну из них произвольно.
2. Составьте таблицу частот для ряда (31; 29; 41; 31; 29; 29; 38; 31). Найдите все моды; объясните, почему нельзя выбрать одну из них произвольно.
3. Составьте таблицу частот для ряда (35; 32; 35; 32; 35; 47; 32; 44; 41). Найдите все моды; объясните, почему нельзя выбрать одну из них произвольно.
4. Составьте таблицу частот для ряда (39; 35; 53; 47; 44; 50; 39; 35; 39; 35). Найдите все моды; объясните, почему нельзя выбрать одну из них произвольно.
5. Составьте таблицу частот для ряда (38; 40; 38; 50; 40; 47; 40; 38). Найдите все моды; объясните, почему нельзя выбрать одну из них произвольно.
6. Составьте таблицу частот для ряда (41; 44; 56; 53; 44; 41; 50; 44; 41). Найдите все моды; объясните, почему нельзя выбрать одну из них произвольно.
7. Составьте таблицу частот для ряда (44; 44; 53; 48; 62; 59; 48; 56; 48; 44). Найдите все моды; объясните, почему нельзя выбрать одну из них произвольно.
8. Составьте таблицу частот для ряда (47; 49; 47; 47; 56; 49; 49; 59). Найдите все моды; объясните, почему нельзя выбрать одну из них произвольно.

Для каждой строки ряда нарисуйте два столбца: один для значения, второй для частоты. Полученное число строк таблицы должно равняться количеству разных значений, а не общему числу наблюдений.

Серия В. Удлинённые ряды: 8 заданий

1. Исследуйте ряд (53; 65; 53; 59; 53; 50; 50; 53; 50; 62; 50): запишите максимальную частоту, две моды и число наблюдений. Докажите, что третьей моды нет.
2. Исследуйте ряд (68; 65; 57; 53; 53; 71; 62; 53; 53; 57; 57; 57): запишите максимальную частоту, две моды и число наблюдений. Докажите, что третьей моды нет.
3. Исследуйте ряд (56; 58; 58; 56; 56; 56; 58; 65; 68; 58): запишите максимальную частоту, две моды и число наблюдений. Докажите, что третьей моды нет.
4. Исследуйте ряд (71; 59; 59; 62; 62; 59; 68; 74; 62; 62; 59): запишите максимальную частоту, две моды и число наблюдений. Докажите, что третьей моды нет.
5. Исследуйте ряд (74; 66; 66; 71; 62; 77; 62; 62; 66; 66; 80; 62): запишите максимальную частоту, две моды и число наблюдений. Докажите, что третьей моды нет.
6. Исследуйте ряд (65; 67; 65; 67; 65; 77; 67; 67; 74; 65): запишите максимальную частоту, две моды и число наблюдений. Докажите, что третьей моды нет.
7. Исследуйте ряд (68; 71; 77; 83; 71; 71; 71; 68; 68; 80; 68): запишите максимальную частоту, две моды и число наблюдений. Докажите, что третьей моды нет.
8. Исследуйте ряд (75; 71; 71; 86; 75; 71; 71; 80; 89; 75; 75; 83): запишите максимальную частоту, две моды и число наблюдений. Докажите, что третьей моды нет.

Полный ключ с частотами

1. Частоты: 2: 2, 4: 2, 11: 1, 14: 1. Максимальная частота 2; обе моды — 2 и 4. Всего наблюдений 6. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
2. Частоты: 5: 2, 8: 2, 14: 1, 17: 1, 20: 1. Максимальная частота 2; обе моды — 5 и 8. Всего наблюдений 7. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
3. Частоты: 8: 2, 12: 2, 17: 1, 20: 1, 23: 1, 26: 1. Максимальная частота 2; обе моды — 8 и 12. Всего наблюдений 8. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
4. Частоты: 11: 2, 13: 2, 20: 1, 23: 1. Максимальная частота 2; обе моды — 11 и 13. Всего наблюдений 6. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
5. Частоты: 14: 2, 17: 2, 23: 1, 26: 1, 29: 1. Максимальная частота 2; обе моды — 14 и 17. Всего наблюдений 7. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
6. Частоты: 17: 2, 21: 2, 26: 1, 29: 1, 32: 1, 35: 1. Максимальная частота 2; обе моды — 17 и 21. Всего наблюдений 8. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
7. Частоты: 20: 2, 22: 2, 29: 1, 32: 1. Максимальная частота 2; обе моды — 20 и 22. Всего наблюдений 6. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
8. Частоты: 23: 2, 26: 2, 32: 1, 35: 1, 38: 1. Максимальная частота 2; обе моды — 23 и 26. Всего наблюдений 7. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
9. Частоты: 26: 3, 30: 3, 35: 1, 38: 1, 41: 1, 44: 1. Максимальная частота 3; обе моды — 26 и 30. Всего наблюдений 10. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
10. Частоты: 29: 3, 31: 3, 38: 1, 41: 1. Максимальная частота 3; обе моды — 29 и 31. Всего наблюдений 8. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
11. Частоты: 32: 3, 35: 3, 41: 1, 44: 1, 47: 1. Максимальная частота 3; обе моды — 32 и 35. Всего наблюдений 9. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
12. Частоты: 35: 3, 39: 3, 44: 1, 47: 1, 50: 1, 53: 1. Максимальная частота 3; обе моды — 35 и 39. Всего наблюдений 10. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
13. Частоты: 38: 3, 40: 3, 47: 1, 50: 1. Максимальная частота 3; обе моды — 38 и 40. Всего наблюдений 8. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
14. Частоты: 41: 3, 44: 3, 50: 1, 53: 1, 56: 1. Максимальная частота 3; обе моды — 41 и 44. Всего наблюдений 9. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
15. Частоты: 44: 3, 48: 3, 53: 1, 56: 1, 59: 1, 62: 1. Максимальная частота 3; обе моды — 44 и 48. Всего наблюдений 10. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
16. Частоты: 47: 3, 49: 3, 56: 1, 59: 1. Максимальная частота 3; обе моды — 47 и 49. Всего наблюдений 8. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
17. Частоты: 50: 4, 53: 4, 59: 1, 62: 1, 65: 1. Максимальная частота 4; обе моды — 50 и 53. Всего наблюдений 11. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
18. Частоты: 53: 4, 57: 4, 62: 1, 65: 1, 68: 1, 71: 1. Максимальная частота 4; обе моды — 53 и 57. Всего наблюдений 12. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
19. Частоты: 56: 4, 58: 4, 65: 1, 68: 1. Максимальная частота 4; обе моды — 56 и 58. Всего наблюдений 10. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
20. Частоты: 59: 4, 62: 4, 68: 1, 71: 1, 74: 1. Максимальная частота 4; обе моды — 59 и 62. Всего наблюдений 11. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
21. Частоты: 62: 4, 66: 4, 71: 1, 74: 1, 77: 1, 80: 1. Максимальная частота 4; обе моды — 62 и 66. Всего наблюдений 12. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
22. Частоты: 65: 4, 67: 4, 74: 1, 77: 1. Максимальная частота 4; обе моды — 65 и 67. Всего наблюдений 10. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
23. Частоты: 68: 4, 71: 4, 77: 1, 80: 1, 83: 1. Максимальная частота 4; обе моды — 68 и 71. Всего наблюдений 11. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.
24. Частоты: 71: 4, 75: 4, 80: 1, 83: 1, 86: 1, 89: 1. Максимальная частота 4; обе моды — 71 и 75. Всего наблюдений 12. Остальные значения встречаются лишь один раз, поэтому дополнительных мод нет.

Разбор ошибок и критерии оценки

Ошибка «мода — максимум». У набора (1; 1; 7; 7; 50) максимум 50, но моды 1 и 7. Мода относится к частоте появления, а не к числовой величине.

Ошибка «нужно выбрать только одну». Если одинаковую максимальную частоту имеют два значения, распределение двумодально. Ответ без второго значения неполон. Если частоты подсчитаны верно, разница между модами не обязана быть маленькой.

Ошибка подсчёта. После таблицы сложите все частоты и сравните сумму с длиной ряда. В упражнениях серии В отдельные редкие значения намеренно отвлекают от повторяющихся наблюдений.

Оценивание. За каждое упражнение — 1 балл при двух верных модах и указанной максимальной частоте. В серии Б и В необходима проверяемая таблица или понятная запись частот. Максимум 24 балла. Самостоятельно перепроверьте любые три задания подсчётом повторений в обратном порядке.