Столбчатая диаграмма относительных частот: примеры и объяснения для 7 класса

Пошаговый разбор для 7 класса. Относительная частота показывает, какую долю всех наблюдений составляет категория. Столбчатая диаграмма относительных частот использует по вертикали доли или проценты, а не число участников. Данные в таблицах ниже можно сразу перенести в тетрадь без рисунков и специальных инструментов.

Вступительная задача: как перейти от людей к процентным столбцам

Пусть 20 школьников выбрали один из четырёх маршрутов: 8, 6, 4 и 2 человека. Сумма 20. Относительные частоты: 8/20 = 40%, 6/20 = 30%, 4/20 = 20%, 2/20 = 10%. Высота четырёх столбцов при масштабе 5% на клетку: 8, 6, 4 и 2 клетки. Все четыре столбца надо рисовать от нулевой линии.

Два равноправных метода

Метод 1 — через долю. Разделите частоту категории на общее число наблюдений, затем умножьте на 100%. Так 6 из 20 — это 6 : 20 · 100% = 30%. На оси высоты подписывайте 0%, 5%, 10% и так далее.

Метод 2 — через цену одного наблюдения. Если всего 20 наблюдений, одному человеку соответствуют 5%. Тогда шесть человек дадут 6 · 5% = 30%. Если наблюдений 40, одному соответствует 2,5%; удобнее выбрать высоты, кратные 5%, как в наших задачах. Оба метода дают один и тот же результат.

Сравните: диаграмма абсолютных частот для 8 и 6 человек имела бы высоты 8 и 6 (в людях), а диаграмма относительных частот — 40% и 30%. Это разные подписи вертикальной оси; путать их нельзя.

Двенадцать таблиц для самостоятельного построения

1. Выбор книги (всего 20 наблюдений). По данным таблицы найдите относительные частоты, выразите их в процентах и постройте столбчатую диаграмму. Масштаб: 1 клетка высоты соответствует 5%.
   

   Категория	Частота, чел.
   А	7
   Б	5
   В	3
   Г	5

2. Походы в кружок (всего 40 наблюдений). По данным таблицы найдите относительные частоты, выразите их в процентах и постройте столбчатую диаграмму. Масштаб: 1 клетка высоты соответствует 5%.
   

   Категория	Частота, чел.
   Техника	10
   Языки	8
   Спорт	14
   Музыка	8

3. Цвет обложки (всего 20 наблюдений). По данным таблицы найдите относительные частоты, выразите их в процентах и постройте столбчатую диаграмму. Масштаб: 1 клетка высоты соответствует 5%.
   

   Категория	Частота, чел.
   Синий	6
   Белый	4
   Красный	8
   Зелёный	2

4. Вид транспорта (всего 40 наблюдений). По данным таблицы найдите относительные частоты, выразите их в процентах и постройте столбчатую диаграмму. Масштаб: 1 клетка высоты соответствует 5%.
   

   Категория	Частота, чел.
   Пешком	12
   Автобус	16
   Велосипед	8
   Другое	4

5. Любимая игра (всего 20 наблюдений). По данным таблицы найдите относительные частоты, выразите их в процентах и постройте столбчатую диаграмму. Масштаб: 1 клетка высоты соответствует 5%.
   

   Категория	Частота, чел.
   Шахматы	4
   Шашки	6
   Лото	6
   Пазлы	4

6. Задания недели (всего 20 наблюдений). По данным таблицы найдите относительные частоты, выразите их в процентах и постройте столбчатую диаграмму. Масштаб: 1 клетка высоты соответствует 5%.
   

   Категория	Частота, чел.
   Пн	2
   Вт	3
   Ср	6
   Чт	5
   Пт	4

7. Выбор фрукта (всего 20 наблюдений). По данным таблицы найдите относительные частоты, выразите их в процентах и постройте столбчатую диаграмму. Масштаб: 1 клетка высоты соответствует 5%.
   

   Категория	Частота, чел.
   Груша	5
   Яблоко	9
   Слива	2
   Банан	4

8. Место отдыха (всего 20 наблюдений). По данным таблицы найдите относительные частоты, выразите их в процентах и постройте столбчатую диаграмму. Масштаб: 1 клетка высоты соответствует 5%.
   

   Категория	Частота, чел.
   Парк	8
   Пляж	4
   Кино	6
   Поход	2

9. Время чтения (всего 40 наблюдений). По данным таблицы найдите относительные частоты, выразите их в процентах и постройте столбчатую диаграмму. Масштаб: 1 клетка высоты соответствует 5%.
   

   Категория	Частота, чел.
   Утро	6
   День	10
   Вечер	18
   Ночь	6

10. Мастерские (всего 40 наблюдений). По данным таблицы найдите относительные частоты, выразите их в процентах и постройте столбчатую диаграмму. Масштаб: 1 клетка высоты соответствует 5%.
    

    Категория	Частота, чел.
    Рисование	14
    Лепка	6
    Фото	10
    Код	10

11. Дни доставки (всего 20 наблюдений). По данным таблицы найдите относительные частоты, выразите их в процентах и постройте столбчатую диаграмму. Масштаб: 1 клетка высоты соответствует 5%.
    

    Категория	Частота, чел.
    1 день	3
    2 дня	8
    3 дня	6
    4 дня	3

12. Виды спорта (всего 20 наблюдений). По данным таблицы найдите относительные частоты, выразите их в процентах и постройте столбчатую диаграмму. Масштаб: 1 клетка высоты соответствует 5%.
    

    Категория	Частота, чел.
    Бег	4
    Плавание	8
    Теннис	6
    Баскетбол	2

Вопросы с подвохом

1. В диаграмме категории имеют относительные частоты 15%, 30%, 25% и 30%. Какую долю занимают все категории вместе? Можно ли по этим долям узнать число опрошенных без дополнительных данных?
2. В классе из 40 учеников один столбец диаграммы равен 35%. Сколько учеников он представляет? Сколько клеток потребуется при масштабе 5% на клетку?
3. На листе две диаграммы: для первой опрошено 20 человек, для второй — 40. В обеих столбец категории X равен 25%. Равны ли абсолютные частоты? Вычислите обе.
4. Один ученик перепутал относительную частоту 0,2 с 0,2%. Как правильно перевести долю 0,2 в проценты и на сколько процентных пунктов ошибся ученик?

Разбор таблиц и высот столбцов

1. Выбор книги: сумма частот 20; делим каждую частоту на 20.
   

   Категория	Доля	Процент	Высота столбца при 5%/клетка
   А	7 / 20	35%	■■■■■■■ (7 клеток)
   Б	5 / 20	25%	■■■■■ (5 клеток)
   В	3 / 20	15%	■■■ (3 клеток)
   Г	5 / 20	25%	■■■■■ (5 клеток)

   Сумма долей: 100%. Высоты показаны строками квадратов; на бумаге каждый набор квадратов нужно рисовать вертикальным столбцом.

2. Походы в кружок: сумма частот 40; делим каждую частоту на 40.
   

   Категория	Доля	Процент	Высота столбца при 5%/клетка
   Техника	10 / 40	25%	■■■■■ (5 клеток)
   Языки	8 / 40	20%	■■■■ (4 клеток)
   Спорт	14 / 40	35%	■■■■■■■ (7 клеток)
   Музыка	8 / 40	20%	■■■■ (4 клеток)

   Сумма долей: 100%. Высоты показаны строками квадратов; на бумаге каждый набор квадратов нужно рисовать вертикальным столбцом.

3. Цвет обложки: сумма частот 20; делим каждую частоту на 20.
   

   Категория	Доля	Процент	Высота столбца при 5%/клетка
   Синий	6 / 20	30%	■■■■■■ (6 клеток)
   Белый	4 / 20	20%	■■■■ (4 клеток)
   Красный	8 / 20	40%	■■■■■■■■ (8 клеток)
   Зелёный	2 / 20	10%	■■ (2 клеток)

   Сумма долей: 100%. Высоты показаны строками квадратов; на бумаге каждый набор квадратов нужно рисовать вертикальным столбцом.

4. Вид транспорта: сумма частот 40; делим каждую частоту на 40.
   

   Категория	Доля	Процент	Высота столбца при 5%/клетка
   Пешком	12 / 40	30%	■■■■■■ (6 клеток)
   Автобус	16 / 40	40%	■■■■■■■■ (8 клеток)
   Велосипед	8 / 40	20%	■■■■ (4 клеток)
   Другое	4 / 40	10%	■■ (2 клеток)

   Сумма долей: 100%. Высоты показаны строками квадратов; на бумаге каждый набор квадратов нужно рисовать вертикальным столбцом.

5. Любимая игра: сумма частот 20; делим каждую частоту на 20.
   

   Категория	Доля	Процент	Высота столбца при 5%/клетка
   Шахматы	4 / 20	20%	■■■■ (4 клеток)
   Шашки	6 / 20	30%	■■■■■■ (6 клеток)
   Лото	6 / 20	30%	■■■■■■ (6 клеток)
   Пазлы	4 / 20	20%	■■■■ (4 клеток)

   Сумма долей: 100%. Высоты показаны строками квадратов; на бумаге каждый набор квадратов нужно рисовать вертикальным столбцом.

6. Задания недели: сумма частот 20; делим каждую частоту на 20.
   

   Категория	Доля	Процент	Высота столбца при 5%/клетка
   Пн	2 / 20	10%	■■ (2 клеток)
   Вт	3 / 20	15%	■■■ (3 клеток)
   Ср	6 / 20	30%	■■■■■■ (6 клеток)
   Чт	5 / 20	25%	■■■■■ (5 клеток)
   Пт	4 / 20	20%	■■■■ (4 клеток)

   Сумма долей: 100%. Высоты показаны строками квадратов; на бумаге каждый набор квадратов нужно рисовать вертикальным столбцом.

7. Выбор фрукта: сумма частот 20; делим каждую частоту на 20.
   

   Категория	Доля	Процент	Высота столбца при 5%/клетка
   Груша	5 / 20	25%	■■■■■ (5 клеток)
   Яблоко	9 / 20	45%	■■■■■■■■■ (9 клеток)
   Слива	2 / 20	10%	■■ (2 клеток)
   Банан	4 / 20	20%	■■■■ (4 клеток)

   Сумма долей: 100%. Высоты показаны строками квадратов; на бумаге каждый набор квадратов нужно рисовать вертикальным столбцом.

8. Место отдыха: сумма частот 20; делим каждую частоту на 20.
   

   Категория	Доля	Процент	Высота столбца при 5%/клетка
   Парк	8 / 20	40%	■■■■■■■■ (8 клеток)
   Пляж	4 / 20	20%	■■■■ (4 клеток)
   Кино	6 / 20	30%	■■■■■■ (6 клеток)
   Поход	2 / 20	10%	■■ (2 клеток)

   Сумма долей: 100%. Высоты показаны строками квадратов; на бумаге каждый набор квадратов нужно рисовать вертикальным столбцом.

9. Время чтения: сумма частот 40; делим каждую частоту на 40.
   

   Категория	Доля	Процент	Высота столбца при 5%/клетка
   Утро	6 / 40	15%	■■■ (3 клеток)
   День	10 / 40	25%	■■■■■ (5 клеток)
   Вечер	18 / 40	45%	■■■■■■■■■ (9 клеток)
   Ночь	6 / 40	15%	■■■ (3 клеток)

   Сумма долей: 100%. Высоты показаны строками квадратов; на бумаге каждый набор квадратов нужно рисовать вертикальным столбцом.

10. Мастерские: сумма частот 40; делим каждую частоту на 40.
    

    Категория	Доля	Процент	Высота столбца при 5%/клетка
    Рисование	14 / 40	35%	■■■■■■■ (7 клеток)
    Лепка	6 / 40	15%	■■■ (3 клеток)
    Фото	10 / 40	25%	■■■■■ (5 клеток)
    Код	10 / 40	25%	■■■■■ (5 клеток)

    Сумма долей: 100%. Высоты показаны строками квадратов; на бумаге каждый набор квадратов нужно рисовать вертикальным столбцом.

11. Дни доставки: сумма частот 20; делим каждую частоту на 20.
    

    Категория	Доля	Процент	Высота столбца при 5%/клетка
    1 день	3 / 20	15%	■■■ (3 клеток)
    2 дня	8 / 20	40%	■■■■■■■■ (8 клеток)
    3 дня	6 / 20	30%	■■■■■■ (6 клеток)
    4 дня	3 / 20	15%	■■■ (3 клеток)

    Сумма долей: 100%. Высоты показаны строками квадратов; на бумаге каждый набор квадратов нужно рисовать вертикальным столбцом.

12. Виды спорта: сумма частот 20; делим каждую частоту на 20.
    

    Категория	Доля	Процент	Высота столбца при 5%/клетка
    Бег	4 / 20	20%	■■■■ (4 клеток)
    Плавание	8 / 20	40%	■■■■■■■■ (8 клеток)
    Теннис	6 / 20	30%	■■■■■■ (6 клеток)
    Баскетбол	2 / 20	10%	■■ (2 клеток)

    Сумма долей: 100%. Высоты показаны строками квадратов; на бумаге каждый набор квадратов нужно рисовать вертикальным столбцом.

Ответы на вопросы с подвохом

1. Сумма равна 15 + 30 + 25 + 30 = 100%. Количество опрошенных однозначно определить нельзя: например, такой набор долей возможен для 20 или 40 ответов.
2. 40 · 0,35 = 14 учеников; высота 35 : 5 = 7 клеток. У диаграммы процентная шкала, а не шкала людей.
3. Нет. 20 · 0,25 = 5 человек, а 40 · 0,25 = 10 человек. Столбцы одинаковы по процентной высоте, но разные по численности.
4. 0,2 = 20%, а не 0,2%. Разность 20 − 0,2 = 19,8 процентного пункта.

Ловушки самопроверки

Ловушка 1: считать проценты от отдельной категории. Знаменатель во всех долях — суммарное число наблюдений в данной таблице. Нельзя делить 7 на 5 только потому, что рядом есть категория с пятью ответами.

Ловушка 2: не проверить сумму. Для взаимоисключающих и исчерпывающих категорий сумма относительных частот равна 1, или 100%. Если получилось 95%, найдите пропущенную категорию или вычислительную ошибку.

Ловушка 3: менять масштаб между столбцами. На одной диаграмме высота одной клетки всегда означает одинаковую долю. Наш масштаб 5% на клетку относится ко всем категориям одной схемы.

Критерий правильного рисунка. Есть подпись каждой категории, вертикальная ось подписана в процентах, шкала начинается с нуля, ширины столбцов одинаковы, высоты совпадают с таблицей. В проверке важно объяснить, что одно и то же относительное значение может соответствовать разным абсолютным частотам при разных объёмах выборок.