Подсчёт исходов при броске двух кубиков по сумме очков — задания на закрепление, 8 класс

Исследование с двумя обычными шестигранными кубиками. У каждой пары граней есть два места: результат первого кубика и результат второго. Даже когда суммы равны, пары могут быть разными. В этом материале мы именно считаем количество исходов для заданной суммы, а не рассматриваем другой тип эксперимента.

Наблюдение: как появляется треугольная закономерность

В таблице 6 строк по 6 клеток — 36 равновозможных упорядоченных исходов. По главной диагонали одинаковы числа на обоих кубиках, но не обязательно суммы. Чтобы посчитать, сколько способов получить сумму, выделите клетки с её значением и пересчитайте. Для суммы 4 это (1;3), (2;2), (3;1) — три различных исхода.

Гипотеза и проверка

Гипотеза: по мере роста суммы от 2 до 7 число способов увеличивается на единицу; затем от 7 до 12 уменьшается на единицу. Проверьте её, заполнив строку количества исходов. Не путайте 6 разных значений на гранях с 6 возможными суммами — суммы изменяются от 2 до 12.

Проверочные задачи: 15 наблюдений и выводов

1. Найдите количество упорядоченных пар (первый кубик; второй кубик) с суммой 2. Запишите все подходящие пары.
2. Найдите количество упорядоченных пар (первый кубик; второй кубик) с суммой 3. Запишите все подходящие пары.
3. Найдите количество упорядоченных пар (первый кубик; второй кубик) с суммой 4. Запишите все подходящие пары.
4. Найдите количество упорядоченных пар (первый кубик; второй кубик) с суммой 5. Запишите все подходящие пары.
5. Найдите количество упорядоченных пар (первый кубик; второй кубик) с суммой 6. Запишите все подходящие пары.
6. Найдите количество упорядоченных пар (первый кубик; второй кубик) с суммой 7. Запишите все подходящие пары.
7. Найдите количество упорядоченных пар (первый кубик; второй кубик) с суммой 8. Запишите все подходящие пары.
8. Найдите количество упорядоченных пар (первый кубик; второй кубик) с суммой 9. Запишите все подходящие пары.
9. Найдите количество упорядоченных пар (первый кубик; второй кубик) с суммой 10. Запишите все подходящие пары.
10. Найдите количество упорядоченных пар (первый кубик; второй кубик) с суммой 11. Запишите все подходящие пары.
11. Найдите количество упорядоченных пар (первый кубик; второй кубик) с суммой 12. Запишите все подходящие пары.
12. Сколько исходов дают чётную сумму очков? Сначала определите правило чётности, затем подсчитайте.
13. Сколько упорядоченных пар дают сумму не меньше 10? Обоснуйте через суммы 10, 11 и 12.
14. Верно ли, что сумма 2 и сумма 7 равновероятны, если каждая указана одним числом? Объясните.
15. Докажите, что суммы 5 и 9 имеют одинаковое число исходов. Почему в таблице есть симметрия относительно 7?

Ответы с перечислением всех пар

1. Для суммы 2 подходят (1; 1); число исходов 1. Пары вида (a; b) и (b; a) различны, если a ≠ b.
2. Для суммы 3 подходят (1; 2), (2; 1); число исходов 2. Пары вида (a; b) и (b; a) различны, если a ≠ b.
3. Для суммы 4 подходят (1; 3), (2; 2), (3; 1); число исходов 3. Пары вида (a; b) и (b; a) различны, если a ≠ b.
4. Для суммы 5 подходят (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1); число исходов 4. Пары вида (a; b) и (b; a) различны, если a ≠ b.
5. Для суммы 6 подходят (1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1); число исходов 5. Пары вида (a; b) и (b; a) различны, если a ≠ b.
6. Для суммы 7 подходят (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1); число исходов 6. Пары вида (a; b) и (b; a) различны, если a ≠ b.
7. Для суммы 8 подходят (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2); число исходов 5. Пары вида (a; b) и (b; a) различны, если a ≠ b.
8. Для суммы 9 подходят (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3); число исходов 4. Пары вида (a; b) и (b; a) различны, если a ≠ b.
9. Для суммы 10 подходят (4; 6), (5; 5), (6; 4); число исходов 3. Пары вида (a; b) и (b; a) различны, если a ≠ b.
10. Для суммы 11 подходят (5; 6), (6; 5); число исходов 2. Пары вида (a; b) и (b; a) различны, если a ≠ b.
11. Для суммы 12 подходят (6; 6); число исходов 1. Пары вида (a; b) и (b; a) различны, если a ≠ b.
12. Чётная сумма получается при одинаковой чётности обоих чисел: 3·3 нечётных пары и 3·3 чётных пары, всего 18 из 36.
13. Сумма 10 имеет 3 пары, 11 — 2, 12 — 1. Итого 6 пар; вероятность такой суммы при правильных кубиках 6/36 = 1/6.
14. Нет. У суммы 2 только (1;1), у 7 — шесть разных пар. Вероятности соответственно 1/36 и 6/36 = 1/6.
15. Сумма 5 имеет 4 пары, сумма 9 — тоже 4. Преобразование (a;b) → (7−a;7−b) взаимно однозначно переводит сумму s в сумму 14−s; поэтому частоты симметричны.

Закономерность, которую можно доказать

Если сумма s от 2 до 7, первый кубик можно выбрать числами от 1 до s − 1, а второй определяется как s − a. Поэтому число пар s − 1. Для сумм больше 7 ограничения «не более 6» отсекают крайние значения, и число пар равно 13 − s. Формула применима только к суммам целых граней двух шестигранных кубиков.

Проверка результата: сложите все числа нижней строки — получится 36. Если у вас 21, вероятно, вы объединяли зеркальные пары, хотя кубики различаются по порядку первого и второго. У сумм 2 и 12 всего по одному исходу, а самая частая сумма — 7.

Практический вывод. При честных независимых кубиках вероятность каждой пары равна 1/36, но вероятности сумм не равны между собой. Число на шкале сумм — не элементарный исход: оно может получиться многими разными путями. Эта разница объясняет, почему распределение сумм имеет форму треугольника.