Проверка корректности таблицы вероятностей — практикум с ответами для 8 класса

Практикум, 8 класс. Здесь проверяются не частоты наблюдений и не вероятность отдельных совпадающих событий, а полные распределения трёх возможных попарно несовместных исходов X, Y и Z. Ошибка в одном числе делает всю таблицу неподходящей для такой модели — даже если остальные ячейки выглядят правдоподобно.

Задача-образец: почему одной суммы недостаточно

Сумма 0,6 + 0,5 − 0,1 = 1. Но вероятность −0,1 невозможна. Поэтому условий два: каждая ячейка от 0 до 1 включительно, а сумма вероятностей всех непересекающихся и исчерпывающих исходов — ровно 1. Недопустима и вероятность больше единицы, даже если сумма случайно получилась правильной.

Метод I. Быстрая проверка каждой ячейки

Отклоняйте строку немедленно, если есть отрицательное значение, значение больше 1 либо запись, не являющаяся числом. Ноль допустим: невозможный исход может быть включён в таблицу с вероятностью 0. Единица также допустима, если все остальные исходы имеют нулевую вероятность.

Метод II. Сложение и контроль нормировки

Когда каждая ячейка находится в разрешённом диапазоне, сложите три дроби, приводя их к общему знаменателю. Например, 1/5 + 2/5 + 2/5 = 1. Если результат 9/10 или 11/10, данные неполные либо противоречивые: для полной таблицы такая строка непригодна. Не исправляйте произвольно ячейки, если в задаче требуется только оценить корректность.

Рабочая таблица для печати

Проверочные задания по строкам A–Т

1. Проверьте строку A: P(X)= 1/2, P(Y)= 1/3, P(Z)= 1/6. Это полная таблица трёх несовместных исходов. Можно ли её считать корректной? Если нет, назовите конкретное нарушенное условие.
2. Проверьте строку Б: P(X)= 1/4, P(Y)= 1/4, P(Z)= 1/4. Это полная таблица трёх несовместных исходов. Можно ли её считать корректной? Если нет, назовите конкретное нарушенное условие.
3. Проверьте строку В: P(X)= 1/5, P(Y)= 2/5, P(Z)= 2/5. Это полная таблица трёх несовместных исходов. Можно ли её считать корректной? Если нет, назовите конкретное нарушенное условие.
4. Проверьте строку Г: P(X)= 3/5, P(Y)= 1/2, P(Z)= -1/10. Это полная таблица трёх несовместных исходов. Можно ли её считать корректной? Если нет, назовите конкретное нарушенное условие.
5. Проверьте строку Д: P(X)= 0, P(Y)= 7/10, P(Z)= 3/10. Это полная таблица трёх несовместных исходов. Можно ли её считать корректной? Если нет, назовите конкретное нарушенное условие.
6. Проверьте строку Е: P(X)= 2/3, P(Y)= 1/2, P(Z)= 1/6. Это полная таблица трёх несовместных исходов. Можно ли её считать корректной? Если нет, назовите конкретное нарушенное условие.
7. Проверьте строку Ж: P(X)= 1/10, P(Y)= 3/10, P(Z)= 3/5. Это полная таблица трёх несовместных исходов. Можно ли её считать корректной? Если нет, назовите конкретное нарушенное условие.
8. Проверьте строку З: P(X)= 6/5, P(Y)= 0, P(Z)= -1/5. Это полная таблица трёх несовместных исходов. Можно ли её считать корректной? Если нет, назовите конкретное нарушенное условие.
9. Проверьте строку И: P(X)= 3/8, P(Y)= 3/8, P(Z)= 1/4. Это полная таблица трёх несовместных исходов. Можно ли её считать корректной? Если нет, назовите конкретное нарушенное условие.
10. Проверьте строку К: P(X)= 1/7, P(Y)= 2/7, P(Z)= 3/7. Это полная таблица трёх несовместных исходов. Можно ли её считать корректной? Если нет, назовите конкретное нарушенное условие.
11. Проверьте строку Л: P(X)= 1/2, P(Y)= 1/2, P(Z)= 0. Это полная таблица трёх несовместных исходов. Можно ли её считать корректной? Если нет, назовите конкретное нарушенное условие.
12. Проверьте строку М: P(X)= 1/10, P(Y)= 1/5, P(Z)= 4/5. Это полная таблица трёх несовместных исходов. Можно ли её считать корректной? Если нет, назовите конкретное нарушенное условие.
13. Проверьте строку Н: P(X)= 0, P(Y)= 0, P(Z)= 1. Это полная таблица трёх несовместных исходов. Можно ли её считать корректной? Если нет, назовите конкретное нарушенное условие.
14. Проверьте строку О: P(X)= 3/4, P(Y)= 1/4, P(Z)= 1/4. Это полная таблица трёх несовместных исходов. Можно ли её считать корректной? Если нет, назовите конкретное нарушенное условие.
15. В строке П заданы P(X)=1/4, P(Y)=1/2, P(Z)=?. Найдите недостающую вероятность, если X, Y и Z исчерпывают все исходы и попарно несовместны. Проверьте диапазон допустимых значений.
16. В строке Р заданы P(X)=2/9, P(Y)=4/9, P(Z)=?. Найдите недостающую вероятность, если X, Y и Z исчерпывают все исходы и попарно несовместны. Проверьте диапазон допустимых значений.
17. В строке С заданы P(X)=1/8, P(Y)=7/8, P(Z)=?. Найдите недостающую вероятность, если X, Y и Z исчерпывают все исходы и попарно несовместны. Проверьте диапазон допустимых значений.
18. В строке Т заданы P(X)=3/10, P(Y)=1/10, P(Z)=?. Найдите недостающую вероятность, если X, Y и Z исчерпывают все исходы и попарно несовместны. Проверьте диапазон допустимых значений.

Полный ключ: условия, суммы, восстановленные ячейки

1. Строка A: Да: все три значения лежат в [0; 1], сумма 1 равна 1. Это полное распределение вероятностей, поэтому проверяются оба правила одновременно.
2. Строка Б: Нет: сумма 3/4, а должна быть 1. Это полное распределение вероятностей, поэтому проверяются оба правила одновременно.
3. Строка В: Да: все три значения лежат в [0; 1], сумма 1 равна 1. Это полное распределение вероятностей, поэтому проверяются оба правила одновременно.
4. Строка Г: Нет: сумма формально 1, но числа -1/10 лежат вне [0;1]. Это полное распределение вероятностей, поэтому проверяются оба правила одновременно.
5. Строка Д: Да: все три значения лежат в [0; 1], сумма 1 равна 1. Это полное распределение вероятностей, поэтому проверяются оба правила одновременно.
6. Строка Е: Нет: сумма 4/3, а должна быть 1. Это полное распределение вероятностей, поэтому проверяются оба правила одновременно.
7. Строка Ж: Да: все три значения лежат в [0; 1], сумма 1 равна 1. Это полное распределение вероятностей, поэтому проверяются оба правила одновременно.
8. Строка З: Нет: сумма формально 1, но числа 6/5, -1/5 лежат вне [0;1]. Это полное распределение вероятностей, поэтому проверяются оба правила одновременно.
9. Строка И: Да: все три значения лежат в [0; 1], сумма 1 равна 1. Это полное распределение вероятностей, поэтому проверяются оба правила одновременно.
10. Строка К: Нет: сумма 6/7, а должна быть 1. Это полное распределение вероятностей, поэтому проверяются оба правила одновременно.
11. Строка Л: Да: все три значения лежат в [0; 1], сумма 1 равна 1. Это полное распределение вероятностей, поэтому проверяются оба правила одновременно.
12. Строка М: Нет: сумма 11/10, а должна быть 1. Это полное распределение вероятностей, поэтому проверяются оба правила одновременно.
13. Строка Н: Да: все три значения лежат в [0; 1], сумма 1 равна 1. Это полное распределение вероятностей, поэтому проверяются оба правила одновременно.
14. Строка О: Нет: сумма 5/4, а должна быть 1. Это полное распределение вероятностей, поэтому проверяются оба правила одновременно.
15. Строка П: P(Z)=1−(1/4+1/2)=1/4. Проверка: 1/4+1/2+1/4=1; каждое значение принадлежит [0;1].
16. Строка Р: P(Z)=1−(2/9+4/9)=1/3. Проверка: 2/9+4/9+1/3=1; каждое значение принадлежит [0;1].
17. Строка С: P(Z)=1−(1/8+7/8)=0. Проверка: 1/8+7/8+0=1; каждое значение принадлежит [0;1].
18. Строка Т: P(Z)=1−(3/10+1/10)=3/5. Проверка: 3/10+1/10+3/5=1; каждое значение принадлежит [0;1].

Где обычно возникают ошибки

«Сумма равна 1, значит всё хорошо». Строки Г и З показывают, что наличие отрицательной ячейки или значения больше 1 запрещено независимо от суммы. Такой набор нельзя трактовать как вероятности трёх исходов.

«Сумма может быть меньше 1, если что-то забыли». Это верно для неполного списка событий. Но здесь по условию X, Y и Z — все возможные исходы опыта. Поэтому сумма меньше единицы означает ошибочную таблицу, а не ещё одну незаписанную категорию.

«Любая сумма вероятностей любых событий должна равняться 1». Нет. Это верно только для полной системы попарно несовместных исходов. Если события пересекаются, простая сумма может считать часть результатов повторно. Условие сформулировано перед таблицей и необходимо для её интерпретации.

Результат для самопроверки. Правильно классифицированная строка с обоснованием стоит 1 балл, всего 18. В строках с вопросительным знаком требуется вычисление, а не догадка. Приближённые округления здесь не используются: все дроби точные, поэтому и итоговая сумма должна быть точно 1.