Расчёт среднего значения по частотной таблице: пошаговые задания для 8 класса

Пошаговые задания, 8 класс. Частотная таблица — это сжатая запись повторяющихся наблюдений. Чтобы найти среднее, необязательно выписывать каждую оценку, измерение или число отдельно. Нужно учесть сколько раз встретилось каждое значение. Умение работать с таблицей особенно полезно, если в измерениях десятки одинаковых показателей.

Схема: значение × частота → сумма → деление

В этой демонстрационной таблице количество наблюдений равно 2 + 3 + 1 = 6, а сумма всех измерений, включая повторы, равна 5·2 + 7·3 + 9·1 = 40 см. Среднее = 40/6 = 20/3 см, то есть приблизительно 6,67 см. Делить на три столбца нельзя: это дало бы простое среднее разных значений, а частоты при этом потерялись бы.

Формула для произвольного числа различных значений: среднее = (x₁·n₁ + x₂·n₂ + ...)/(n₁ + n₂ + ...), где x — значение признака, n — число его появлений. Все частоты — целые неотрицательные числа, их сумма положительна. Если в таблице частоты равны нулю для всех значений, среднее вычислить нельзя: деление на ноль не определено.

Практикум: 15 частотных таблиц

1. Баллы за тест. Покажите в решении сумму всех наблюдений и общую частоту.

   Значение балла	Частота
   2	1
   4	3
   6	4
   8	2

2. Время пути. Сначала найдите объём выборки, затем среднее.

   Значение мин	Частота
   10	3
   15	4
   20	3

3. Книги за месяц. Сравните среднее с минимальным и максимальным наблюдением: между ними ли оно?

   Значение книги	Частота
   0	2
   1	5
   2	6
   3	2

4. Оценки. Покажите в решении сумму всех наблюдений и общую частоту.

   Значение балла	Частота
   3	2
   4	7
   5	3

5. Масса посылок. Сначала найдите объём выборки, затем среднее.

   Значение кг	Частота
   1	4
   2	3
   5	1

6. Рост растений. Сравните среднее с минимальным и максимальным наблюдением: между ними ли оно?

   Значение см	Частота
   8	2
   10	3
   14	2
   16	1

7. Время ожидания. Покажите в решении сумму всех наблюдений и общую частоту.

   Значение мин	Частота
   4	1
   7	4
   10	3
   13	2

8. Цена поездки. Сначала найдите объём выборки, затем среднее.

   Значение тенге	Частота
   20	2
   30	5
   50	3

9. Дистанция пробежки. Сравните среднее с минимальным и максимальным наблюдением: между ними ли оно?

   Значение км	Частота
   2	3
   3	4
   4	2
   5	1

10. Число ошибок. Покажите в решении сумму всех наблюдений и общую частоту.

    Значение ошибки	Частота
    0	5
    1	6
    2	2
    4	1

11. Температура воды. Сначала найдите объём выборки, затем среднее.

    Значение °C	Частота
    16	3
    18	2
    20	5

12. Продолжительность занятий. Сравните среднее с минимальным и максимальным наблюдением: между ними ли оно?

    Значение мин	Частота
    30	4
    45	3
    60	1

13. Масса яблок. Покажите в решении сумму всех наблюдений и общую частоту.

    Значение г	Частота
    120	2
    140	4
    180	4

14. Кол-во страниц. Сначала найдите объём выборки, затем среднее.

    Значение страницы	Частота
    5	1
    10	4
    15	3
    20	2

15. Время зарядки. Сравните среднее с минимальным и максимальным наблюдением: между ними ли оно?

    Значение мин	Частота
    6	5
    9	2
    12	3

Критическое мышление: ещё два задания

16. По таблице есть значения 4 (частота 3), 8 (частота 1) и 10 (частота 2). Ученик нашёл (4+8+10)/3. Почему этот расчёт неверен? Получите правильное среднее.
17. У двух групп одна и та же таблица значений — 2, 6 и 10, но частоты различны. У группы А: (1, 2, 1); у группы Б: (1, 1, 4). Найдите оба средних, объясните отличие.

Ответы по порядку и проверка единиц

1. Баллы за тест: общий объём 1 + 3 + 4 + 2 = 10 наблюдений; взвешенная сумма 2·1 + 4·3 + 6·4 + 8·2 = 54. Среднее 27/5 балла. Проверка: оно находится между 2 и 8 балла.
2. Время пути: общий объём 3 + 4 + 3 = 10 наблюдений; взвешенная сумма 10·3 + 15·4 + 20·3 = 150. Среднее 15 мин. Проверка: оно находится между 10 и 20 мин.
3. Книги за месяц: общий объём 2 + 5 + 6 + 2 = 15 наблюдений; взвешенная сумма 0·2 + 1·5 + 2·6 + 3·2 = 23. Среднее 23/15 книги (приблизительно 1,533 книги). Проверка: оно находится между 0 и 3 книги.
4. Оценки: общий объём 2 + 7 + 3 = 12 наблюдений; взвешенная сумма 3·2 + 4·7 + 5·3 = 49. Среднее 49/12 балла (приблизительно 4,083 балла). Проверка: оно находится между 3 и 5 балла.
5. Масса посылок: общий объём 4 + 3 + 1 = 8 наблюдений; взвешенная сумма 1·4 + 2·3 + 5·1 = 15. Среднее 15/8 кг (приблизительно 1,875 кг). Проверка: оно находится между 1 и 5 кг.
6. Рост растений: общий объём 2 + 3 + 2 + 1 = 8 наблюдений; взвешенная сумма 8·2 + 10·3 + 14·2 + 16·1 = 90. Среднее 45/4 см. Проверка: оно находится между 8 и 16 см.
7. Время ожидания: общий объём 1 + 4 + 3 + 2 = 10 наблюдений; взвешенная сумма 4·1 + 7·4 + 10·3 + 13·2 = 88. Среднее 44/5 мин. Проверка: оно находится между 4 и 13 мин.
8. Цена поездки: общий объём 2 + 5 + 3 = 10 наблюдений; взвешенная сумма 20·2 + 30·5 + 50·3 = 340. Среднее 34 тенге. Проверка: оно находится между 20 и 50 тенге.
9. Дистанция пробежки: общий объём 3 + 4 + 2 + 1 = 10 наблюдений; взвешенная сумма 2·3 + 3·4 + 4·2 + 5·1 = 31. Среднее 31/10 км. Проверка: оно находится между 2 и 5 км.
10. Число ошибок: общий объём 5 + 6 + 2 + 1 = 14 наблюдений; взвешенная сумма 0·5 + 1·6 + 2·2 + 4·1 = 14. Среднее 1 ошибки. Проверка: оно находится между 0 и 4 ошибки.
11. Температура воды: общий объём 3 + 2 + 5 = 10 наблюдений; взвешенная сумма 16·3 + 18·2 + 20·5 = 184. Среднее 92/5 °C. Проверка: оно находится между 16 и 20 °C.
12. Продолжительность занятий: общий объём 4 + 3 + 1 = 8 наблюдений; взвешенная сумма 30·4 + 45·3 + 60·1 = 315. Среднее 315/8 мин (приблизительно 39,375 мин). Проверка: оно находится между 30 и 60 мин.
13. Масса яблок: общий объём 2 + 4 + 4 = 10 наблюдений; взвешенная сумма 120·2 + 140·4 + 180·4 = 1520. Среднее 152 г. Проверка: оно находится между 120 и 180 г.
14. Кол-во страниц: общий объём 1 + 4 + 3 + 2 = 10 наблюдений; взвешенная сумма 5·1 + 10·4 + 15·3 + 20·2 = 130. Среднее 13 страницы. Проверка: оно находится между 5 и 20 страницы.
15. Время зарядки: общий объём 5 + 2 + 3 = 10 наблюдений; взвешенная сумма 6·5 + 9·2 + 12·3 = 84. Среднее 42/5 мин. Проверка: оно находится между 6 и 12 мин.
16. Ученик усреднил три различных значения, но не шесть наблюдений. Правильно: (4·3 + 8·1 + 10·2)/(3+1+2)=40/6=20/3 (примерно 6,667).
17. А: (2·1+6·2+10·1)/4=24/4=6. Б: (2·1+6·1+10·4)/6=48/6=8. Частоты — это число повторений каждого значения; большая частота десятки повышает второе среднее.

Проверяйте результат тремя способами

• Сумма частот — это общее число наблюдений; она не обязана совпадать с числом столбцов таблицы.
• Каждое значение умножается на его частоту, а не на порядковый номер в таблице.
• Среднее, вычисленное по положительным частотам, не может быть меньше минимального или больше максимального значения. Его единица измерения совпадает с единицей самих данных.

Пояснение для учителя и родителя

Оценивать следует не только итоговое число, но и две промежуточные строки: сумму частот и сумму произведений. При ошибке в числителе проверьте каждое умножение, при ошибке в знаменателе — не перепутал ли ученик частоту со значением. Дробный ответ допустим: если в данных были целые минуты, среднее время может составлять, например, 7,5 минуты.

Частотное среднее арифметическое не следует путать с вероятностным ожиданием, если не оговорена модель вероятностей. В этой карточке частоты — реальные количества повторов, поэтому знаменатель равен общему объёму выборки. Если столбец частот записан в процентах, требуется другая форма расчёта с делением процентной суммы на 100.