Преобразование разности двух сложных рациональных дробей — тренажёр по математике, 8 класс

Пошаговый тренажёр, 8 класс. Разность сложных рациональных дробей состоит из двух больших частей. У каждой части есть своя дробь в числителе и своя в знаменателе. Для надёжного вычисления сначала упростите каждую сложную дробь, затем приведите результаты к общему знаменателю, после чего вычтите числители.

Главное правило: деление на дробь — умножение на обратную

Пример: (1/(x+1))/(1/(x+4)) − (1/(x+2))/(1/(x+6)). Первая часть = (x+4)/(x+1), вторая = (x+6)/(x+2). Общий знаменатель: (x+1)(x+2). Разность числителей: (x+4)(x+2)−(x+6)(x+1) = −x+2. Результат (2−x)/((x+1)(x+2)). Исходная ОДЗ: x ≠ −1, −2, −4, −6.

Почему исходная ОДЗ шире, чем знаменатель ответа

Если сложная дробь имеет вид (1/(x+1))/(1/(x+4)), то для неё необходимы x ≠ −1 и x ≠ −4: во втором случае внутренний знаменатель дроби не определён. При превращении в (x+4)/(x+1) число −4 математически становится допустимым для новой формулы, но не для исходной записи. Поэтому ограничения фиксируют до преобразований.

Три решённых образца: алгоритм можно применять одинаково

1. Первая сложная дробь равна (x+4)/(x+1), вторая — (x+6)/(x+2). Разность = (-x + 2)/((x+1)(x+2)). Первоначальная ОДЗ: x ≠ −1, x ≠ −2, x ≠ −4, x ≠ −6. Запреты x=−4, x=−6 не исчезают при упрощении вложенных дробей.
2. Первая сложная дробь равна (x+6)/(x+3), вторая — (x+8)/(x+1). Разность = (-4·x - 18)/((x+3)(x+1)). Первоначальная ОДЗ: x ≠ −1, x ≠ −3, x ≠ −6, x ≠ −8. Запреты x=−6, x=−8 не исчезают при упрощении вложенных дробей.
3. Первая сложная дробь равна (x+7)/(x+2), вторая — (x+9)/(x+5). Разность = (x + 17)/((x+2)(x+5)). Первоначальная ОДЗ: x ≠ −2, x ≠ −5, x ≠ −7, x ≠ −9. Запреты x=−7, x=−9 не исчезают при упрощении вложенных дробей.

Тренировка с частичными подсказками, задания 1–8

1. Вычислите разность двух сложных дробей (1/(x+1)) / (1/(x+4)) − (1/(x+2)) / (1/(x+6)). Сначала замените каждое деление умножением на обратную дробь, затем приведите разность к общему знаменателю и укажите ОДЗ. Подсказка: общий знаменатель уже после деления имеет вид произведения двух выражений (x+число).
2. Вычислите разность двух сложных дробей (1/(x+3)) / (1/(x+6)) − (1/(x+1)) / (1/(x+8)). Сначала замените каждое деление умножением на обратную дробь, затем приведите разность к общему знаменателю и укажите ОДЗ. Подсказка: общий знаменатель уже после деления имеет вид произведения двух выражений (x+число).
3. Вычислите разность двух сложных дробей (1/(x+2)) / (1/(x+7)) − (1/(x+5)) / (1/(x+9)). Сначала замените каждое деление умножением на обратную дробь, затем приведите разность к общему знаменателю и укажите ОДЗ. Подсказка: общий знаменатель уже после деления имеет вид произведения двух выражений (x+число).
4. Вычислите разность двух сложных дробей (1/(x+4)) / (1/(x+1)) − (1/(x+6)) / (1/(x+3)). Сначала замените каждое деление умножением на обратную дробь, затем приведите разность к общему знаменателю и укажите ОДЗ. Подсказка: общий знаменатель уже после деления имеет вид произведения двух выражений (x+число).
5. Вычислите разность двух сложных дробей (1/(x+5)) / (1/(x+9)) − (1/(x+2)) / (1/(x+7)). Сначала замените каждое деление умножением на обратную дробь, затем приведите разность к общему знаменателю и укажите ОДЗ. Подсказка: общий знаменатель уже после деления имеет вид произведения двух выражений (x+число).
6. Вычислите разность двух сложных дробей (1/(x+6)) / (1/(x+2)) − (1/(x+3)) / (1/(x+8)). Сначала замените каждое деление умножением на обратную дробь, затем приведите разность к общему знаменателю и укажите ОДЗ. Подсказка: общий знаменатель уже после деления имеет вид произведения двух выражений (x+число).
7. Вычислите разность двух сложных дробей (1/(x+7)) / (1/(x+1)) − (1/(x+4)) / (1/(x+9)). Сначала замените каждое деление умножением на обратную дробь, затем приведите разность к общему знаменателю и укажите ОДЗ. Подсказка: общий знаменатель уже после деления имеет вид произведения двух выражений (x+число).
8. Вычислите разность двух сложных дробей (1/(x+8)) / (1/(x+3)) − (1/(x+5)) / (1/(x+10)). Сначала замените каждое деление умножением на обратную дробь, затем приведите разность к общему знаменателю и укажите ОДЗ. Подсказка: общий знаменатель уже после деления имеет вид произведения двух выражений (x+число).

Самостоятельное закрепление, задания 9–15

9. Вычислите разность двух сложных дробей (1/(x+9)) / (1/(x+4)) − (1/(x+1)) / (1/(x+6)). Сначала замените каждое деление умножением на обратную дробь, затем приведите разность к общему знаменателю и укажите ОДЗ.
10. Вычислите разность двух сложных дробей (1/(x+2)) / (1/(x+8)) − (1/(x+3)) / (1/(x+11)). Сначала замените каждое деление умножением на обратную дробь, затем приведите разность к общему знаменателю и укажите ОДЗ.
11. Вычислите разность двух сложных дробей (1/(x+3)) / (1/(x+9)) − (1/(x+6)) / (1/(x+12)). Сначала замените каждое деление умножением на обратную дробь, затем приведите разность к общему знаменателю и укажите ОДЗ.
12. Вычислите разность двух сложных дробей (1/(x+5)) / (1/(x+1)) − (1/(x+7)) / (1/(x+13)). Сначала замените каждое деление умножением на обратную дробь, затем приведите разность к общему знаменателю и укажите ОДЗ.
13. Вычислите разность двух сложных дробей (1/(x+6)) / (1/(x+10)) − (1/(x+4)) / (1/(x+11)). Сначала замените каждое деление умножением на обратную дробь, затем приведите разность к общему знаменателю и укажите ОДЗ.
14. Вычислите разность двух сложных дробей (1/(x+8)) / (1/(x+2)) − (1/(x+9)) / (1/(x+14)). Сначала замените каждое деление умножением на обратную дробь, затем приведите разность к общему знаменателю и укажите ОДЗ.
15. Вычислите разность двух сложных дробей (1/(x+4)) / (1/(x+12)) − (1/(x+7)) / (1/(x+15)). Сначала замените каждое деление умножением на обратную дробь, затем приведите разность к общему знаменателю и укажите ОДЗ.

Полные решения с проверкой ОДЗ

1. Первая сложная дробь равна (x+4)/(x+1), вторая — (x+6)/(x+2). Разность = (-x + 2)/((x+1)(x+2)). Первоначальная ОДЗ: x ≠ −1, x ≠ −2, x ≠ −4, x ≠ −6. Запреты x=−4, x=−6 не исчезают при упрощении вложенных дробей.
2. Первая сложная дробь равна (x+6)/(x+3), вторая — (x+8)/(x+1). Разность = (-4·x - 18)/((x+3)(x+1)). Первоначальная ОДЗ: x ≠ −1, x ≠ −3, x ≠ −6, x ≠ −8. Запреты x=−6, x=−8 не исчезают при упрощении вложенных дробей.
3. Первая сложная дробь равна (x+7)/(x+2), вторая — (x+9)/(x+5). Разность = (x + 17)/((x+2)(x+5)). Первоначальная ОДЗ: x ≠ −2, x ≠ −5, x ≠ −7, x ≠ −9. Запреты x=−7, x=−9 не исчезают при упрощении вложенных дробей.
4. Первая сложная дробь равна (x+1)/(x+4), вторая — (x+3)/(x+6). Разность = (-6)/((x+4)(x+6)). Первоначальная ОДЗ: x ≠ −1, x ≠ −3, x ≠ −4, x ≠ −6. Запреты x=−1, x=−3 не исчезают при упрощении вложенных дробей.
5. Первая сложная дробь равна (x+9)/(x+5), вторая — (x+7)/(x+2). Разность = (-x - 17)/((x+5)(x+2)). Первоначальная ОДЗ: x ≠ −2, x ≠ −5, x ≠ −7, x ≠ −9. Запреты x=−9, x=−7 не исчезают при упрощении вложенных дробей.
6. Первая сложная дробь равна (x+2)/(x+6), вторая — (x+8)/(x+3). Разность = (-9·x - 42)/((x+6)(x+3)). Первоначальная ОДЗ: x ≠ −2, x ≠ −3, x ≠ −6, x ≠ −8. Запреты x=−2, x=−8 не исчезают при упрощении вложенных дробей.
7. Первая сложная дробь равна (x+1)/(x+7), вторая — (x+9)/(x+4). Разность = (-11·x - 59)/((x+7)(x+4)). Первоначальная ОДЗ: x ≠ −1, x ≠ −4, x ≠ −7, x ≠ −9. Запреты x=−1, x=−9 не исчезают при упрощении вложенных дробей.
8. Первая сложная дробь равна (x+3)/(x+8), вторая — (x+10)/(x+5). Разность = (-10·x - 65)/((x+8)(x+5)). Первоначальная ОДЗ: x ≠ −3, x ≠ −5, x ≠ −8, x ≠ −10. Запреты x=−3, x=−10 не исчезают при упрощении вложенных дробей.
9. Первая сложная дробь равна (x+4)/(x+9), вторая — (x+6)/(x+1). Разность = (-10·x - 50)/((x+9)(x+1)). Первоначальная ОДЗ: x ≠ −1, x ≠ −4, x ≠ −6, x ≠ −9. Запреты x=−4, x=−6 не исчезают при упрощении вложенных дробей.
10. Первая сложная дробь равна (x+8)/(x+2), вторая — (x+11)/(x+3). Разность = (-2·x + 2)/((x+2)(x+3)). Первоначальная ОДЗ: x ≠ −2, x ≠ −3, x ≠ −8, x ≠ −11. Запреты x=−8, x=−11 не исчезают при упрощении вложенных дробей.
11. Первая сложная дробь равна (x+9)/(x+3), вторая — (x+12)/(x+6). Разность = (18)/((x+3)(x+6)). Первоначальная ОДЗ: x ≠ −3, x ≠ −6, x ≠ −9, x ≠ −12. Запреты x=−9, x=−12 не исчезают при упрощении вложенных дробей.
12. Первая сложная дробь равна (x+1)/(x+5), вторая — (x+13)/(x+7). Разность = (-10·x - 58)/((x+5)(x+7)). Первоначальная ОДЗ: x ≠ −1, x ≠ −5, x ≠ −7, x ≠ −13. Запреты x=−1, x=−13 не исчезают при упрощении вложенных дробей.
13. Первая сложная дробь равна (x+10)/(x+6), вторая — (x+11)/(x+4). Разность = (-3·x - 26)/((x+6)(x+4)). Первоначальная ОДЗ: x ≠ −4, x ≠ −6, x ≠ −10, x ≠ −11. Запреты x=−10, x=−11 не исчезают при упрощении вложенных дробей.
14. Первая сложная дробь равна (x+2)/(x+8), вторая — (x+14)/(x+9). Разность = (-11·x - 94)/((x+8)(x+9)). Первоначальная ОДЗ: x ≠ −2, x ≠ −8, x ≠ −9, x ≠ −14. Запреты x=−2, x=−14 не исчезают при упрощении вложенных дробей.
15. Первая сложная дробь равна (x+12)/(x+4), вторая — (x+15)/(x+7). Разность = (24)/((x+4)(x+7)). Первоначальная ОДЗ: x ≠ −4, x ≠ −7, x ≠ −12, x ≠ −15. Запреты x=−12, x=−15 не исчезают при упрощении вложенных дробей.

Контроль на примере числа x=0

Во всех 15 заданиях x=0 допустим, поскольку все смещения положительны. Подставьте x=0 в исходную запись и в полученный ответ: значения должны совпасть. Этот тест помогает выявить ошибку знака при вычитании, но не доказывает тождество; доказательство — цепочка равносильных преобразований на первоначальной ОДЗ.

Особенно внимательно раскрывайте скобки после знака минус: из (x+b)(x+c) − (x+d)(x+a) вычитаются все слагаемые второго произведения. Никогда не заменяйте разность дробей разностью их знаменателей.