Рациональное уравнение с коэффициентом-параметром: задания от простого к сложному, 8 класс

Прикладной кейс и разбор параметра, 8 класс. Параметр a — это фиксированный коэффициент, значение которого может меняться между испытаниями. В отличие от обычного линейного уравнения, здесь надо не только получить формулу корня, но и исследовать особые значения a и проверить исходный знаменатель.

Ситуация: учёт расхода на производственной линии

На линии производится x блоков. Два блока расходуются на настройку, а оставшиеся x−2 считаются годными, поэтому x — целое число больше 2. Пусть ресурс на всю партию составляет (a·x+12) условных единиц, где a>0 — расход на один произведённый блок. Средний расход ресурса на один годный блок выражается дробью (a·x+12)/(x−2). Управляющий ищет партии с целевым расходом 6 условных единиц на годный блок.

Математическая модель и проверка единиц

Уравнение (a·x+12)/(x−2)=6 после умножения на x−2 (он ненулевой) даёт a·x+12=6x−12, то есть (6−a)x=24. При a≠6 имеем x=24/(6−a), затем проверяем x>2 и целочисленность. При a=6 получается 0=24: решений нет. Если a>6, формальный x отрицателен и не соответствует смыслу задачи. При a=2 получаем x=6; проверка: (2·6+12)/(6−2)=24/4=6 условных единиц/блок.

Задания 1–6. Изменение коэффициента в технологическом кейсе

1. Технологический кейс: x — число изготовленных блоков, x целое, x>2; два блока идут на наладку. Удельный расход (a·x+12)/(x−2) должен равняться 6 условным единицам на годный блок. При a=2 найдите математическое решение и проверьте физическую допустимость x. Объясните, почему x=2 исключено.
2. Технологический кейс: x — число изготовленных блоков, x целое, x>2; два блока идут на наладку. Удельный расход (a·x+12)/(x−2) должен равняться 6 условным единицам на годный блок. При a=3 найдите математическое решение и проверьте физическую допустимость x. Объясните, почему x=2 исключено.
3. Технологический кейс: x — число изготовленных блоков, x целое, x>2; два блока идут на наладку. Удельный расход (a·x+12)/(x−2) должен равняться 6 условным единицам на годный блок. При a=4 найдите математическое решение и проверьте физическую допустимость x. Объясните, почему x=2 исключено.
4. Технологический кейс: x — число изготовленных блоков, x целое, x>2; два блока идут на наладку. Удельный расход (a·x+12)/(x−2) должен равняться 6 условным единицам на годный блок. При a=5 найдите математическое решение и проверьте физическую допустимость x. Объясните, почему x=2 исключено.
5. Технологический кейс: x — число изготовленных блоков, x целое, x>2; два блока идут на наладку. Удельный расход (a·x+12)/(x−2) должен равняться 6 условным единицам на годный блок. При a=6 найдите математическое решение и проверьте физическую допустимость x. Объясните, почему x=2 исключено.
6. Технологический кейс: x — число изготовленных блоков, x целое, x>2; два блока идут на наладку. Удельный расход (a·x+12)/(x−2) должен равняться 6 условным единицам на годный блок. При a=7 найдите математическое решение и проверьте физическую допустимость x. Объясните, почему x=2 исключено.

От прикладной задачи к общей формуле

Пусть (a·x+p)/(x−c)=q, где p, c, q — заданные числа, c≠0, a — вещественный параметр, x — неизвестное. ОДЗ: x≠c. После умножения на x−c получается (a−q)x=−(p+q·c). Есть два важных вопроса: может ли коэффициент a−q стать нулём и не превратился ли найденный корень в запрещённое x=c?

Если p+q·c≠0, то при a=q решений нет, а при a≠q формула x=(p+q·c)/(q−a). Необходимо также исключить значение параметра a=−p/c, при котором эта формула даёт x=c. Если p+q·c=0, при a=q любое x≠c — решение, а при a≠q единственный корень x=0, поскольку c≠0. Эти правила выводятся из исходного уравнения, а не из произвольного деления на a−q.

Задания 7–14. Число решений при разных параметрах

7. Для вещественного параметра a полностью решите (a·x+1)/(x−2)=4 с ОДЗ x≠2. Обязательно рассмотрите значения a, при которых изменяется число решений.
8. Для вещественного параметра a полностью решите (a·x+3)/(x−3)=5 с ОДЗ x≠3. Обязательно рассмотрите значения a, при которых изменяется число решений.
9. Для вещественного параметра a полностью решите (a·x+5)/(x−2)=7 с ОДЗ x≠2. Обязательно рассмотрите значения a, при которых изменяется число решений.
10. Для вещественного параметра a полностью решите (a·x+6)/(x−4)=3 с ОДЗ x≠4. Обязательно рассмотрите значения a, при которых изменяется число решений.
11. Для вещественного параметра a полностью решите (a·x+2)/(x−5)=1 с ОДЗ x≠5. Обязательно рассмотрите значения a, при которых изменяется число решений.
12. Для вещественного параметра a полностью решите (a·x+7)/(x−1)=6 с ОДЗ x≠1. Обязательно рассмотрите значения a, при которых изменяется число решений.
13. Для вещественного параметра a полностью решите (a·x−6)/(x−3)=2 с ОДЗ x≠3. Обязательно рассмотрите значения a, при которых изменяется число решений.
14. Для вещественного параметра a полностью решите (a·x−8)/(x−4)=2 с ОДЗ x≠4. Обязательно рассмотрите значения a, при которых изменяется число решений.

Полный ключ с проверкой недопустимых корней

1. a=2: Из (6−a)x=24 при a=2 получаем x=6. Условие целого x>2 выполняется. При x=2 знаменатель расхода нулевой, и такая ситуация вне модели.
2. a=3: Из (6−a)x=24 при a=3 получаем x=8. Условие целого x>2 выполняется. При x=2 знаменатель расхода нулевой, и такая ситуация вне модели.
3. a=4: Из (6−a)x=24 при a=4 получаем x=12. Условие целого x>2 выполняется. При x=2 знаменатель расхода нулевой, и такая ситуация вне модели.
4. a=5: Из (6−a)x=24 при a=5 получаем x=24. Условие целого x>2 выполняется. При x=2 знаменатель расхода нулевой, и такая ситуация вне модели.
5. a=6: нет решений: 6x+12=6(x−2) приводит к 12=−12. При x=2 знаменатель расхода нулевой, и такая ситуация вне модели.
6. a=7: Из (6−a)x=24 при a=7 получаем x=-24. Физически недопустимо: x не больше 2 (хотя уравнение с x≠2 имеет такой вещественный корень). При x=2 знаменатель расхода нулевой, и такая ситуация вне модели.
7. При a≠4 формальный корень x=9/(4−a); он допустим лишь если a≠-1/2, поскольку x=2 исключён. При a=4 решений нет: получилось 0·x=−9. При a=-1/2 тоже нет решений: формальный корень x=2 запрещён.
8. При a≠5 формальный корень x=18/(5−a); он допустим лишь если a≠-1, поскольку x=3 исключён. При a=5 решений нет: получилось 0·x=−18. При a=-1 тоже нет решений: формальный корень x=3 запрещён.
9. При a≠7 формальный корень x=19/(7−a); он допустим лишь если a≠-5/2, поскольку x=2 исключён. При a=7 решений нет: получилось 0·x=−19. При a=-5/2 тоже нет решений: формальный корень x=2 запрещён.
10. При a≠3 формальный корень x=18/(3−a); он допустим лишь если a≠-3/2, поскольку x=4 исключён. При a=3 решений нет: получилось 0·x=−18. При a=-3/2 тоже нет решений: формальный корень x=4 запрещён.
11. При a≠1 формальный корень x=7/(1−a); он допустим лишь если a≠-2/5, поскольку x=5 исключён. При a=1 решений нет: получилось 0·x=−7. При a=-2/5 тоже нет решений: формальный корень x=5 запрещён.
12. При a≠6 формальный корень x=13/(6−a); он допустим лишь если a≠-7, поскольку x=1 исключён. При a=6 решений нет: получилось 0·x=−13. При a=-7 тоже нет решений: формальный корень x=1 запрещён.
13. После умножения на x−3 имеем (a−2)x=0. При a≠2 единственный корень x=0 (допустим, поскольку 0≠3); при a=2 решение — любое x≠3. Это случай бесконечного множества решений, но x=3 всё равно запрещён.
14. После умножения на x−4 имеем (a−2)x=0. При a≠2 единственный корень x=0 (допустим, поскольку 0≠4); при a=2 решение — любое x≠4. Это случай бесконечного множества решений, но x=4 всё равно запрещён.

Проверка математической модели

В задачах 1–6 результат обязан удовлетворять всем требованиям: равенству, ОДЗ x≠2, физическому x>2 и целочисленности числа блоков. Если формальный корень отрицателен, математическое уравнение может иметь решение, но практическая задача — не иметь допустимой партии. В заданиях 7–14 x — вещественное число, поэтому дополнительных ограничений целочисленности и положительности нет.

Критерии: 6 прикладных задач по 2 балла (уравнение и проверка смысла); 8 задач с параметрами по 3 балла (ОДЗ, особые значения, правильная классификация решений). Максимум 36 баллов. Ответ с делением на a−q без разбора случая a=q нельзя считать завершённым.