Решение простейшего уравнения тангенс x равен числу: задания от простого к сложному, 10 класс

Мини-тест по тригонометрии, 10 класс. Работайте в радианах, если возле задания не сказано иначе. Во всех общих решениях n ∈ ℤ. Цель работы — решить именно tg x = a: преобразования с синусом, косинусом и двойным углом здесь не требуются.

Сначала вспомните смысл формулы

Для любого вещественного a уравнение tg x = a имеет решения x = arctg(a) + πn, где arctg(a) — угол в интервале (−π/2; π/2). Период тангенса равен π. Исходное выражение не определено при x = π/2 + πn; ни одно из найденных по формуле значений этим запретам не противоречит.

Быстрая диагностика — три выбора

1. Какой период необходим в ответе к tg x = 1: A) 2π, Б) π, В) π/2?
2. Для tg x = 5 что верно: A) решений нет, Б) одно решение, В) бесконечно много решений?
3. Можно ли записать x = π/2 + πn для tg x = 0? Выберите «да» или «нет» и назовите причину.

Основные задания: выбрать, вычислить, объяснить

1. tg x = 0. Найдите все решения и обоснуйте периодичность. Место для решения: __________________________.
2. tg x = 1. Найдите все решения и обоснуйте периодичность. Место для решения: __________________________.
3. tg x = −1. Найдите все решения и обоснуйте периодичность. Место для решения: __________________________.
4. tg x = √3. Найдите все решения и обоснуйте периодичность. Место для решения: __________________________.
5. tg x = −√3. Найдите все решения и обоснуйте периодичность. Место для решения: __________________________.
6. tg x = √3/3. Найдите все решения и обоснуйте периодичность. Место для решения: __________________________.
7. tg x = −√3/3. Найдите все решения и обоснуйте периодичность. Место для решения: __________________________.
8. tg x = 2. Найдите все решения и обоснуйте периодичность. Место для решения: __________________________.
9. tg x = −2. Найдите все решения и обоснуйте периодичность. Место для решения: __________________________.
10. tg x = 1/2. Найдите все решения и обоснуйте периодичность. Место для решения: __________________________.
11. tg x = −1/2. Найдите все решения и обоснуйте периодичность. Место для решения: __________________________.
12. tg x = √2. Найдите все решения и обоснуйте периодичность. Место для решения: __________________________.
13. tg x = −√2. Найдите все решения и обоснуйте периодичность. Место для решения: __________________________.
14. tg x = 3. Найдите все решения и обоснуйте периодичность. Место для решения: __________________________.
15. tg x = −4. Найдите все решения и обоснуйте периодичность. Место для решения: __________________________.
16. tg x = 0,2. Найдите все решения и обоснуйте периодичность. Место для решения: __________________________.

Лист ответов

Объяснения к каждому заданию

1. tg x = 0: x = πn. Нулевой тангенс у всех целых кратных π. Подстановка главного значения даёт заданный тангенс; прибавление πn ничего не меняет.
2. tg x = 1: x = π/4 + πn. Тангенс π/4 равен 1. Подстановка главного значения даёт заданный тангенс; прибавление πn ничего не меняет.
3. tg x = −1: x = −π/4 + πn. Угол можно также указать как 3π/4 + πn. Подстановка главного значения даёт заданный тангенс; прибавление πn ничего не меняет.
4. tg x = √3: x = π/3 + πn. Тангенс π/3 равен √3. Подстановка главного значения даёт заданный тангенс; прибавление πn ничего не меняет.
5. tg x = −√3: x = −π/3 + πn. Нечётность тангенса: tg(−u)=−tg u. Подстановка главного значения даёт заданный тангенс; прибавление πn ничего не меняет.
6. tg x = √3/3: x = π/6 + πn. √3/3 — точное значение tg(π/6). Подстановка главного значения даёт заданный тангенс; прибавление πn ничего не меняет.
7. tg x = −√3/3: x = −π/6 + πn. Главное значение арктангенса отрицательно. Подстановка главного значения даёт заданный тангенс; прибавление πn ничего не меняет.
8. tg x = 2: x = arctg(2) + πn. Для нестандартного аргумента достаточно точного ответа через arctg. Подстановка главного значения даёт заданный тангенс; прибавление πn ничего не меняет.
9. tg x = −2: x = −arctg(2) + πn. Период π остаётся тем же. Подстановка главного значения даёт заданный тангенс; прибавление πn ничего не меняет.
10. tg x = 1/2: x = arctg(1/2) + πn. Нельзя подменять arctg(1/2) на π/6. Подстановка главного значения даёт заданный тангенс; прибавление πn ничего не меняет.
11. tg x = −1/2: x = −arctg(1/2) + πn. Знак арктангенса меняется на противоположный. Подстановка главного значения даёт заданный тангенс; прибавление πn ничего не меняет.
12. tg x = √2: x = arctg(√2) + πn. В ответе нет причин угадывать табличный угол. Подстановка главного значения даёт заданный тангенс; прибавление πn ничего не меняет.
13. tg x = −√2: x = −arctg(√2) + πn. tg имеет период π и не меняет диапазон допустимых значений a. Подстановка главного значения даёт заданный тангенс; прибавление πn ничего не меняет.
14. tg x = 3: x = arctg(3) + πn. Тангенс принимает любое вещественное значение. Подстановка главного значения даёт заданный тангенс; прибавление πn ничего не меняет.
15. tg x = −4: x = −arctg(4) + πn. Значение меньше −1 всё равно допустимо. Подстановка главного значения даёт заданный тангенс; прибавление πn ничего не меняет.
16. tg x = 0,2: x = arctg(1/5) + πn. 0,2 = 1/5; здесь не нужно округление. Подстановка главного значения даёт заданный тангенс; прибавление πn ничего не меняет.

Разбор спорных вариантов диагностики

1. Верно Б: π. Прибавление 2π даёт лишь часть корней, а π/2 не является периодом тангенса.
2. Верно В: при любом вещественном числе 5 (и вообще при любом a) есть бесконечно много решений arctg(a)+πn.
3. Нет. В точках π/2+πn косинус равен нулю, поэтому отношение sin x/cos x не существует.

Проверка. На любом допустимом корне sin x / cos x = a. Отдельно убедитесь, что cos x ≠ 0. В задачах 8–16 точная запись через арктангенс предпочтительнее необоснованного десятичного приближения. За каждое из 16 упражнений: 1 балл за главное значение, 1 — за период, 1 — за корректный знак и пояснение. Максимум 48 баллов.