Тригонометрические уравнения с вынесением общего множителя: самостоятельная работа по математике, 10 класс

Самостоятельная работа, 10 класс. Основной навык — вынести общий тригонометрический множитель и решить полученное произведение, равное нулю. Нельзя делить обе части на sin x или cos x: так теряются корни, при которых делитель равен нулю.

Вступительная задача: два пути решения

Решите sin²x − sin x·cos x = 0. Способ А: sin x(sin x−cos x)=0; поэтому sin x=0 или sin x=cos x. Ответ: x=πn или x=π/4+πn. Способ Б: в исходное равенство подставьте x=0: получится 0, значит деление исходного уравнения на sin x без оговорки потеряло бы корень. Только после явного рассмотрения sin x=0 можно исследовать вторую ветвь.

Сравните методы и сформулируйте правило

• Если произведение A(x)·B(x)=0, то решаем отдельно A(x)=0 и B(x)=0.
• При раскрытых скобках ищите один и тот же sin x или cos x во всех слагаемых; вынесите его наружу.
• При уравнении с несколькими ветвями одинаковые корни разрешено записывать один раз. Отдельная ОДЗ отсутствует, пока нет деления на тригонометрические выражения.
• Для невозможных ветвей используйте оценку |sin x|≤1, |cos x|≤1 и |sin x±cos x|≤√2.

Самостоятельная работа — 16 уравнений

1. Решите sin²x − sin x·cos x = 0. В строке решения покажите общий множитель: ___________________.
2. Решите cos²x − sin x·cos x = 0. В строке решения покажите общий множитель: ___________________.
3. Решите 2sin²x − sin x = 0. В строке решения покажите общий множитель: ___________________.
4. Решите 2cos²x − cos x = 0. В строке решения покажите общий множитель: ___________________.
5. Решите sin x·cos x + sin x = 0. В строке решения покажите общий множитель: ___________________.
6. Решите sin x·cos x + cos x = 0. В строке решения покажите общий множитель: ___________________.
7. Решите 2sin x·cos x − sin x = 0. В строке решения покажите общий множитель: ___________________.
8. Решите 2sin x·cos x + cos x = 0. В строке решения покажите общий множитель: ___________________.
9. Решите sin²x + sin x = 0. В строке решения покажите общий множитель: ___________________.
10. Решите cos²x + cos x = 0. В строке решения покажите общий множитель: ___________________.
11. Решите sin²x − (√2/2)sin x = 0. В строке решения покажите общий множитель: ___________________.
12. Решите cos²x + (√2/2)cos x = 0. В строке решения покажите общий множитель: ___________________.
13. Решите sin x·(sin x−cos x)+2sin x = 0. В строке решения покажите общий множитель: ___________________.
14. Решите cos x·(sin x+cos x)−3cos x = 0. В строке решения покажите общий множитель: ___________________.
15. Решите sin x·cos x − 2sin x = 0. В строке решения покажите общий множитель: ___________________.
16. Решите cos x·sin x − 2cos x = 0. В строке решения покажите общий множитель: ___________________.

Образец оценки результата

Разбор каждой задачи: факторизация, ветви, окончательный ответ

1. sin²x − sin x·cos x = 0. Вынесение: sin x(sin x − cos x)=0. sin x=0 либо sin x=cos x. Ответ: x=πn или x=π/4+πn; здесь и далее n∈ℤ.
2. cos²x − sin x·cos x = 0. Вынесение: cos x(cos x − sin x)=0. cos x=0 либо sin x=cos x. Ответ: x=π/2+πn или x=π/4+πn; здесь и далее n∈ℤ.
3. 2sin²x − sin x = 0. Вынесение: sin x(2sin x−1)=0. sin x=0 или sin x=1/2. Ответ: x=πn; x=π/6+2πn; x=5π/6+2πn; здесь и далее n∈ℤ.
4. 2cos²x − cos x = 0. Вынесение: cos x(2cos x−1)=0. cos x=0 или cos x=1/2. Ответ: x=π/2+πn или x=±π/3+2πn; здесь и далее n∈ℤ.
5. sin x·cos x + sin x = 0. Вынесение: sin x(cos x+1)=0. cos x=−1 уже содержится среди x=πn. Ответ: x=πn; здесь и далее n∈ℤ.
6. sin x·cos x + cos x = 0. Вынесение: cos x(sin x+1)=0. sin x=−1 входит в x=π/2+πn. Ответ: x=π/2+πn; здесь и далее n∈ℤ.
7. 2sin x·cos x − sin x = 0. Вынесение: sin x(2cos x−1)=0. sin x=0 или cos x=1/2. Ответ: x=πn или x=±π/3+2πn; здесь и далее n∈ℤ.
8. 2sin x·cos x + cos x = 0. Вынесение: cos x(2sin x+1)=0. cos x=0 или sin x=−1/2. Ответ: x=π/2+πn; x=−π/6+2πn; x=7π/6+2πn; здесь и далее n∈ℤ.
9. sin²x + sin x = 0. Вынесение: sin x(sin x+1)=0. sin x=0 или sin x=−1. Ответ: x=πn или x=−π/2+2πn; здесь и далее n∈ℤ.
10. cos²x + cos x = 0. Вынесение: cos x(cos x+1)=0. cos x=0 или cos x=−1. Ответ: x=π/2+πn или x=π+2πn; здесь и далее n∈ℤ.
11. sin²x − (√2/2)sin x = 0. Вынесение: sin x(sin x−√2/2)=0. sin x=0 или sin x=√2/2. Ответ: x=πn; x=π/4+2πn; x=3π/4+2πn; здесь и далее n∈ℤ.
12. cos²x + (√2/2)cos x = 0. Вынесение: cos x(cos x+√2/2)=0. cos x=0 или cos x=−√2/2. Ответ: x=π/2+πn; x=3π/4+2πn; x=5π/4+2πn; здесь и далее n∈ℤ.
13. sin x·(sin x−cos x)+2sin x = 0. Вынесение: sin x(sin x−cos x+2)=0. sin x−cos x лежит в [−√2;√2], поэтому sin x−cos x+2>0. Ответ: x=πn; здесь и далее n∈ℤ.
14. cos x·(sin x+cos x)−3cos x = 0. Вынесение: cos x(sin x+cos x−3)=0. |sin x+cos x|≤√2<3. Ответ: x=π/2+πn; здесь и далее n∈ℤ.
15. sin x·cos x − 2sin x = 0. Вынесение: sin x(cos x−2)=0. cos x=2 невозможен; остаются нули синуса. Ответ: x=πn; здесь и далее n∈ℤ.
16. cos x·sin x − 2cos x = 0. Вынесение: cos x(sin x−2)=0. sin x=2 невозможен; остаются нули косинуса. Ответ: x=π/2+πn; здесь и далее n∈ℤ.

Частые ловушки — проверьте себя

В уравнении sin x(cos x−2)=0 не требуется делить на sin x. Ветка cos x=2 не имеет корней, но sin x=0 даёт целое семейство x=πn. Отбрасывание синусного множителя уничтожило бы все ответы.

Если ветви пересекаются, их объединение не удваивает корни. Так, cos x=−1 уже покрывается условием sin x=0 в задаче 5. Другое предупреждение: из sin x=cos x нельзя делить на cos x без проверки cos x≠0; здесь проверка проста, поскольку при cos x=0 синус равен ±1 и равенство невозможно.

Итоговая оценка — до 48 баллов. Особенно тщательно проверяйте примеры 13–16: вторые множители либо строго положительны, либо не могут обратиться в ноль из-за ограниченности синуса и косинуса.