Тригонометрические уравнения после замены sin x на t: задания от простого к сложному, 10 класс

Рабочие карточки, 10 класс. Во всех заданиях присутствует квадратное уравнение относительно sin x. Замена t=sin x превращает его в обычное квадратное уравнение. Но после нахождения t необходимо выполнить обязательный отбор значений: −1≤t≤1. Вне этого промежутка действительных x не существует.

Таблица алгоритма

Разобранный пример: один кандидат не подходит

Решим 2sin²x−5sin x+2=0. Замена t=sin x даёт 2t²−5t+2=0, то есть (2t−1)(t−2)=0. Найдены t=1/2 и t=2. Последнее невозможно, потому что синус не превышает 1. Для sin x=1/2 получаем x=π/6+2πn или x=5π/6+2πn. Проверка: sin x=1/2 даёт 2·1/4−5·1/2+2=0.

Карточки для самостоятельного решения

1. 2sin²x−sin x = 0. Введите t=sin x, решите квадратное уравнение, отметьте допустимые t, найдите все x. Ответ: ___________________.
2. 2sin²x+sin x = 0. Введите t=sin x, решите квадратное уравнение, отметьте допустимые t, найдите все x. Ответ: ___________________.
3. sin²x−1 = 0. Введите t=sin x, решите квадратное уравнение, отметьте допустимые t, найдите все x. Ответ: ___________________.
4. 4sin²x−1 = 0. Введите t=sin x, решите квадратное уравнение, отметьте допустимые t, найдите все x. Ответ: ___________________.
5. 2sin²x−5sin x+2 = 0. Введите t=sin x, решите квадратное уравнение, отметьте допустимые t, найдите все x. Ответ: ___________________.
6. sin²x+sin x−2 = 0. Введите t=sin x, решите квадратное уравнение, отметьте допустимые t, найдите все x. Ответ: ___________________.
7. sin²x−sin x−2 = 0. Введите t=sin x, решите квадратное уравнение, отметьте допустимые t, найдите все x. Ответ: ___________________.
8. 2sin²x−3sin x = 0. Введите t=sin x, решите квадратное уравнение, отметьте допустимые t, найдите все x. Ответ: ___________________.
9. 4sin²x−8sin x+3 = 0. Введите t=sin x, решите квадратное уравнение, отметьте допустимые t, найдите все x. Ответ: ___________________.
10. 4sin²x+8sin x+3 = 0. Введите t=sin x, решите квадратное уравнение, отметьте допустимые t, найдите все x. Ответ: ___________________.
11. 2sin²x−3sin x+1 = 0. Введите t=sin x, решите квадратное уравнение, отметьте допустимые t, найдите все x. Ответ: ___________________.
12. 2sin²x+3sin x+1 = 0. Введите t=sin x, решите квадратное уравнение, отметьте допустимые t, найдите все x. Ответ: ___________________.
13. sin²x−4 = 0. Введите t=sin x, решите квадратное уравнение, отметьте допустимые t, найдите все x. Ответ: ___________________.
14. 2sin²x−7sin x+6 = 0. Введите t=sin x, решите квадратное уравнение, отметьте допустимые t, найдите все x. Ответ: ___________________.
15. 2sin²x+sin x = 0. Введите t=sin x, решите квадратное уравнение, отметьте допустимые t, найдите все x. Ответ: ___________________.
16. sin²x−3sin x+2 = 0. Введите t=sin x, решите квадратное уравнение, отметьте допустимые t, найдите все x. Ответ: ___________________.
17. 2sin²x−sin x−3 = 0. Введите t=sin x, решите квадратное уравнение, отметьте допустимые t, найдите все x. Ответ: ___________________.

Быстрая таблица контроля допустимых значений

Ответы с полным отсевом корней

1. 2sin²x−sin x = 0. После замены t=sin x кандидаты t=0 и t=1/2. Оба корня допустимы. Ответ: x=πn; x=π/6+2πn или x=5π/6+2πn; n∈ℤ.
2. 2sin²x+sin x = 0. После замены t=sin x кандидаты t=0 и t=-1/2. Оба корня допустимы. Ответ: x=πn; x=−π/6+2πn или x=7π/6+2πn; n∈ℤ.
3. sin²x−1 = 0. После замены t=sin x кандидаты t=1 и t=-1. Оба корня допустимы. Ответ: x=π/2+2πn; x=−π/2+2πn; n∈ℤ.
4. 4sin²x−1 = 0. После замены t=sin x кандидаты t=1/2 и t=-1/2. Оба корня допустимы. Ответ: x=π/6+2πn или x=5π/6+2πn; x=−π/6+2πn или x=7π/6+2πn; n∈ℤ.
5. 2sin²x−5sin x+2 = 0. После замены t=sin x кандидаты t=1/2 и t=2. Один корень допустим, второй вне [−1;1]. Ответ: x=π/6+2πn или x=5π/6+2πn; n∈ℤ.
6. sin²x+sin x−2 = 0. После замены t=sin x кандидаты t=1 и t=-2. Один корень допустим, второй вне [−1;1]. Ответ: x=π/2+2πn; n∈ℤ.
7. sin²x−sin x−2 = 0. После замены t=sin x кандидаты t=-1 и t=2. Один корень допустим, второй вне [−1;1]. Ответ: x=−π/2+2πn; n∈ℤ.
8. 2sin²x−3sin x = 0. После замены t=sin x кандидаты t=0 и t=3/2. Один корень допустим, второй вне [−1;1]. Ответ: x=πn; n∈ℤ.
9. 4sin²x−8sin x+3 = 0. После замены t=sin x кандидаты t=1/2 и t=3/2. Один корень допустим, второй вне [−1;1]. Ответ: x=π/6+2πn или x=5π/6+2πn; n∈ℤ.
10. 4sin²x+8sin x+3 = 0. После замены t=sin x кандидаты t=-1/2 и t=-3/2. Один корень допустим, второй вне [−1;1]. Ответ: x=−π/6+2πn или x=7π/6+2πn; n∈ℤ.
11. 2sin²x−3sin x+1 = 0. После замены t=sin x кандидаты t=1 и t=1/2. Оба корня допустимы. Ответ: x=π/2+2πn; x=π/6+2πn или x=5π/6+2πn; n∈ℤ.
12. 2sin²x+3sin x+1 = 0. После замены t=sin x кандидаты t=-1 и t=-1/2. Оба корня допустимы. Ответ: x=−π/2+2πn; x=−π/6+2πn или x=7π/6+2πn; n∈ℤ.
13. sin²x−4 = 0. После замены t=sin x кандидаты t=2 и t=-2. Оба корня вне [−1;1]. Ответ: действительных решений нет; n∈ℤ.
14. 2sin²x−7sin x+6 = 0. После замены t=sin x кандидаты t=3/2 и t=2. Оба корня вне [−1;1]. Ответ: действительных решений нет; n∈ℤ.
15. 2sin²x+sin x = 0. После замены t=sin x кандидаты t=-1/2 и t=0. Оба корня допустимы. Ответ: x=−π/6+2πn или x=7π/6+2πn; x=πn; n∈ℤ.
16. sin²x−3sin x+2 = 0. После замены t=sin x кандидаты t=1 и t=2. Один корень допустим, второй вне [−1;1]. Ответ: x=π/2+2πn; n∈ℤ.
17. 2sin²x−sin x−3 = 0. После замены t=sin x кандидаты t=-1 и t=3/2. Один корень допустим, второй вне [−1;1]. Ответ: x=−π/2+2πn; n∈ℤ.

Проверка исходного уравнения

Например, в задании 1 значения t=0 и t=1/2 дают соответственно sin x=0 и sin x=1/2. Подстановка обоих t в исходный многочлен даёт 0. Если найдено t=2, подстановка в квадратное уравнение тоже может дать 0, но такой t нельзя представить как sin x при действительном x. Поэтому проверка квадратного уравнения не заменяет проверку диапазона синуса.

Для заданий с двумя допустимыми t нужно указать корни от каждого. Для t=±1 возникает по одному семейству с периодом 2π; для t=±1/2 — по два семейства; для t=0 удобно писать x=πn. Ни у одного исходного выражения нет дополнительных ограничений области определения: каждое содержит только полином от sin x.