Уравнения вида sin x равно cos x — тренажёр по математике, 10 класс

Проверочная работа, 10 класс. Основное уравнение sin x = cos x имеет полное решение x = π/4 + πn, n ∈ ℤ. Тренируем не подстановку наугад, а получение общего решения и точный отбор корней на отрезке или интервале. Отдельные задания записаны в градусах и с общим изменённым аргументом.

Базовый уровень — отберите корни на числовой окружности

1. sin x=cos x, x∈[0;2π). Запишите все решения внутри указанного промежутка: ___________________.
2. sin x=cos x, x∈[−π;π]. Запишите все решения внутри указанного промежутка: ___________________.
3. sin x=cos x, x∈[0;3π]. Запишите все решения внутри указанного промежутка: ___________________.
4. sin x=cos x, x∈[−2π;0). Запишите все решения внутри указанного промежутка: ___________________.
5. sin x=cos x, x∈(0;π). Запишите все решения внутри указанного промежутка: ___________________.
6. sin x=cos x, x∈[π;2π]. Запишите все решения внутри указанного промежутка: ___________________.
7. sin x=cos x, x∈[−π/2;3π/2]. Запишите все решения внутри указанного промежутка: ___________________.
8. sin x=cos x, x∈[0;4π). Запишите все решения внутри указанного промежутка: ___________________.
9. sin x=cos x, x∈(−π/4;7π/4). Запишите все решения внутри указанного промежутка: ___________________.
10. sin x=cos x, x∈[π/4;9π/4]. Запишите все решения внутри указанного промежутка: ___________________.

Повышенный уровень — единицы угла, замена аргумента и объяснение

11. sin x=cos x, x∈[0°;360°) Ответ аргументируйте: ___________________.
12. sin x=cos x, x∈[−180°;180°] Ответ аргументируйте: ___________________.
13. sin(2x)=cos(2x), x∈[0;2π) Ответ аргументируйте: ___________________.
14. sin(x−π/6)=cos(x−π/6), x∈[0;2π) Ответ аргументируйте: ___________________.
15. sin(x+π/3)=cos(x+π/3), x∈[0;2π) Ответ аргументируйте: ___________________.
16. sin(3x)=cos(3x), x∈[0;π) Ответ аргументируйте: ___________________.
17. Какие из π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 удовлетворяют sin x=cos x? Ответ аргументируйте: ___________________.
18. Возможно ли равенство sin x=cos x при cos x=0? Ответ аргументируйте: ___________________.
19. sin x=cos x, x∈[0;π/4) Ответ аргументируйте: ___________________.
20. sin(x+π/2)=cos(x+π/2), x∈[0;2π) Ответ аргументируйте: ___________________.

Критерии самопроверки

Полные ответы с проверкой условий интервала

1. sin x=cos x, x∈[0;2π). Ответ: π/4; 5π/4. В общий ответ x=π/4+πn подставьте n=0,1.
2. sin x=cos x, x∈[−π;π]. Ответ: −3π/4; π/4. Значения n=−1,0.
3. sin x=cos x, x∈[0;3π]. Ответ: π/4; 5π/4; 9π/4. Значения n=0,1,2.
4. sin x=cos x, x∈[−2π;0). Ответ: −7π/4; −3π/4. Значения n=−2,−1.
5. sin x=cos x, x∈(0;π). Ответ: π/4. Только n=0.
6. sin x=cos x, x∈[π;2π]. Ответ: 5π/4. Только n=1.
7. sin x=cos x, x∈[−π/2;3π/2]. Ответ: π/4; 5π/4. n=0,1, обе границы не являются корнями.
8. sin x=cos x, x∈[0;4π). Ответ: π/4; 5π/4; 9π/4; 13π/4. n=0,1,2,3.
9. sin x=cos x, x∈(−π/4;7π/4). Ответ: π/4; 5π/4. n=0,1.
10. sin x=cos x, x∈[π/4;9π/4]. Ответ: π/4; 5π/4; 9π/4. Обе границы — корни и входят в ответ.
11. sin x=cos x, x∈[0°;360°). Ответ: 45°; 225°. В градусах общий ответ 45°+180°n; 360° не корень.
12. sin x=cos x, x∈[−180°;180°]. Ответ: −135°; 45°. n=−1,0 для 45°+180°n.
13. sin(2x)=cos(2x), x∈[0;2π). Ответ: π/8; 5π/8; 9π/8; 13π/8. 2x=π/4+πn, поэтому x=π/8+πn/2.
14. sin(x−π/6)=cos(x−π/6), x∈[0;2π). Ответ: 5π/12; 17π/12. x−π/6=π/4+πn, поэтому x=5π/12+πn.
15. sin(x+π/3)=cos(x+π/3), x∈[0;2π). Ответ: 11π/12; 23π/12. x=−π/12+πn; здесь n=1,2.
16. sin(3x)=cos(3x), x∈[0;π). Ответ: π/12; 5π/12; 3π/4. 3x=π/4+πn, значит x=π/12+πn/3, n=0,1,2.
17. Какие из π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 удовлетворяют sin x=cos x?. Ответ: π/4 и 5π/4. У оставшихся двух точек sin x=−cos x, а не sin x=cos x.
18. Возможно ли равенство sin x=cos x при cos x=0?. Ответ: нет. При cos x=0 синус равен ±1, следовательно, равенство невозможно.
19. sin x=cos x, x∈[0;π/4). Ответ: нет решений. Первая положительная точка π/4 исключена правой открытой границей.
20. sin(x+π/2)=cos(x+π/2), x∈[0;2π). Ответ: 3π/4; 7π/4. x=−π/4+πn, поэтому n=1,2.

Два способа доказать общее решение

Способ 1 — деление после проверки. Если cos x=0, то sin x=±1, значит sin x=cos x не выполняется. Поэтому для корней исходного равенства можно разделить обе части на cos x и получить tg x=1, откуда x=π/4+πn. Без предварительного обоснования деление было бы логически неполным.

Способ 2 — формула синуса разности. Из sin x−cos x=0 следует √2·sin(x−π/4)=0. Поэтому x−π/4=πn, то есть тот же ответ. У такого преобразования нет деления на выражение, способное обращаться в ноль.

Осторожно: почему недостаточно указать только 45°

При x=45° синус и косинус равны √2/2, но при x=225° они оба равны −√2/2. Поэтому период множества корней — 180°, или π радиан, а не 360°. На промежутке [0;2π) два корня, но на [0;4π) уже четыре. При выборе корней на закрытых границах точка включается только при строгом выполнении уравнения и попадании в указанный промежуток.

Ключ предназначен для самостоятельной сверки: если вы получили больше корней, проверьте числовые границы; если меньше — вероятно, потеряли период π или пропустили вторую половину окружности.