Система для задач на квадрат разности двух чисел для 8 класса — упражнения с разбором
Мини-тест по системам для 8 класса. Здесь важно не просто раскрыть (x − y)², а восстановить оба числа по их сумме и квадрату разности. Упорядоченные пары (4; 2) и (2; 4) считаются разными, если в условии не сказано обратное.
Содержание статьи6 разделов
Памятка перед тестом
Если x + y = s и (x − y)² = d, то при d > 0 возможны две ветви x − y = √d и x − y = −√d. Из суммы и разности получаем x = (s + (x − y))/2, y = (s − (x − y))/2. При d = 0 ветви совпадают; при d < 0 действительных решений нет. Если требуется x > y или натуральные числа, полученные пары надо дополнительно отобрать.
Часть I. Вычислить и проверить
Первые шесть номеров — базовые, следующие шесть — с ограничениями и заменой выражения по формуле квадрата разности.
- 1. x + y = 10; (x − y)² = 16. Найдите все пары (x; y) и укажите, почему других нет.
- 2. x + y = 5; (x − y)² = 9. Найдите все пары (x; y) и укажите, почему других нет.
- 3. x + y = −2; (x − y)² = 36. Найдите все пары (x; y) и укажите, почему других нет.
- 4. x + y = 14; (x − y)² = 0. Найдите все пары (x; y) и укажите, почему других нет.
- 5. x + y = 9; (x − y)² = −4. Найдите все пары (x; y) и укажите, почему других нет.
- 6. x + y = 3; (x − y)² = 1; x > y. Найдите все пары (x; y) и укажите, почему других нет.
- 7. x + y = 12; x² − 2xy + y² = 4. Найдите все пары (x; y) и укажите, почему других нет.
- 8. x + y = 2; (x − y)² = 25. Найдите все пары (x; y) и укажите, почему других нет.
- 9. x + y = 18; (x − y)² = 100; оба числа положительны. Найдите все пары (x; y) и укажите, почему других нет.
- 10. x + y = 1; (x − y)² = 49; x ≥ 0, y ≥ 0. Найдите все пары (x; y) и укажите, почему других нет.
- 11. x + y = 0; (x − y)² = 64. Найдите все пары (x; y) и укажите, почему других нет.
- 12. x + y = 8; (x − y)² = 144. Найдите все пары (x; y) и укажите, почему других нет.
Часть II. Выбрать и объяснить
- 13. Выберите все верные утверждения для системы x + y = 6, (x − y)² = 4: А) подходит (4; 2); Б) подходит (2; 4); В) подходит (5; 1); Г) ровно одно решение.
- 14. Пара (2; 5) предложена как решение системы x + y = 7, (x − y)² = 9. Проверьте оба равенства и сделайте вывод.
- 15. Даны два числа 9 и 2. Запишите такую систему из суммы и квадрата разности, чтобы эта упорядоченная пара была решением. Какие ещё упорядоченные пары допускает система?
- 16. Без вычисления x и y определите число действительных упорядоченных пар для x + y = 11 и (x − y)² = 25; затем для x + y = 11 и (x − y)² = 0; затем для x + y = 11 и (x − y)² = −1.
Лист ответов
| № | Все допустимые пары (x; y) | Почему |
|---|---|---|
| 1 | (7; 3); (3; 7) | Полный ответ: две упорядоченные пары. |
| 2 | (4; 1); (1; 4) | Нельзя терять отрицательную ветвь разности. |
| 3 | (2; -4); (-4; 2) | Сумма отрицательная, но отдельное число может быть положительным. |
| 4 | (7; 7) | У двух ветвей один и тот же корень; не записывай дубликат. |
| 5 | Нет действительных решений: (x − y)² не может быть −4. | Квадрат действительного числа неотрицателен. |
| 6 | (2; 1) | Условие порядка выбирает одну пару. |
| 7 | (7; 5); (5; 7) | Сначала узнай квадрат разности по формуле. |
| 8 | (7/2; -3/2); (-3/2; 7/2) | Удобно сначала найти разность ±5. |
| 9 | (14; 4); (4; 14) | Проверь знаки полученных чисел. |
| 10 | Нет допустимых пар после проверки условий. | Не все корни системы удовлетворяют дополнительному условию. |
| 11 | (4; -4); (-4; 4) | Числа противоположны. |
| 12 | (10; -2); (-2; 10) | Разность может превосходить сумму по модулю. |
Объяснение заданий 13–16
- 13. Верны А и Б: 4 + 2 = 6, (4 − 2)² = 4; после перестановки сумма и квадрат разности остаются прежними. В: (5 − 1)² = 16 ≠ 4. Г неверно: пар две.
- 14. Да: 2 + 5 = 7 и (2 − 5)² = (−3)² = 9. При этом подходит и (5; 2), поэтому проверка одной пары не доказывает единственность.
- 15. x + y = 11, (x − y)² = 49. Возможны (9; 2) и (2; 9). Прибавляя условие x > y, оставляем только первую пару.
- 16. При d = 25 получаются две пары; при d = 0 одна; при d = −1 ни одной. От величины суммы s число ветвей не зависит.
Три вопроса после самопроверки
Почему нельзя написать x − y = √d и остановиться? Вы потеряете вторую ветвь при d > 0. Почему при d = 0 ответ один? Оба знака перед нулём дают одно значение. Почему запрет отрицательных чисел проверяется после решения? Равенства могут выполняться и для пар, не удовлетворяющих дополнительному ограничению.
Оценка: 14–16 правильно — уверенное владение методом; 11–13 — проверьте отбор пар; менее 11 — вернитесь к формулам полусуммы и полуразности. Оценивайте пункт с двумя парами только при указании обеих.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.