Проверка посторонних решений при возведении уравнения в квадрат — проверочная работа, 8 класс

Исследование перед проверочной. Сравните √9 = −3 и 9 = (−3)². Второе равенство верно, первое — нет. Возведение в квадрат сохраняет равенство, но может превратить ложную запись в истинную; обратный переход без проверки недопустим.

Содержание статьи5 разделов

Наблюдение, гипотеза, проверка

Общее наблюдение: из A = B следует A² = B²; из A² = B² следует лишь A = B или A = −B. Поэтому уравнение √A = B требует одновременно A ≥ 0 и B ≥ 0. Кандидаты, полученные квадратированием, проверяют в исходном уравнении, а не только в преобразованном.

Гипотеза: если обе стороны исходного уравнения неотрицательны на рассматриваемом множестве, то равенство квадратов равносильно равенству самих сторон. Проверка: √(x + 6) = x даёт после квадратирования x² − x − 6 = 0, то есть x = 3 или x = −2. При −2 исходная запись 2 = −2 неверна. Значит, без ограничения x ≥ 0 квадратирование добавило лишний кандидат.

Самостоятельная проверочная: 16 заданий

Для каждого номера выпишите кандидатов после квадратирования, проверьте знак правой стороны и выполните подстановку. В номерах 14–16 квадратирование может породить не два, а бесконечно много кандидатов или ни одного.

  1. √(x + 6) = x. Найдите корни и отвергните посторонние значения.
  2. √(x + 4) = x − 2. Найдите корни и отвергните посторонние значения.
  3. √(2x + 5) = x + 1. Объясните, почему кандидаты не обязательно являются корнями.
  4. √(3x + 4) = x + 2. Найдите корни и отвергните посторонние значения.
  5. √(4x + 1) = 2x − 1. Найдите корни и отвергните посторонние значения.
  6. √(x + 1) = 1 − x. Объясните, почему кандидаты не обязательно являются корнями.
  7. √(2x + 9) = x + 3. Найдите корни и отвергните посторонние значения.
  8. √(5x + 4) = x + 2. Найдите корни и отвергните посторонние значения.
  9. √(6 − x) = x. Объясните, почему кандидаты не обязательно являются корнями.
  10. √(2x + 1) = x − 1. Найдите корни и отвергните посторонние значения.
  11. √(x + 4) = 2 − x. Найдите корни и отвергните посторонние значения.
  12. √(3x + 1) = x − 1. Объясните, почему кандидаты не обязательно являются корнями.
  13. 2√(x + 5) = x + 2. Найдите корни и отвергните посторонние значения.
  14. √(x²) = x. Найдите корни и отвергните посторонние значения.
  15. √(x²) = −x. Объясните, почему кандидаты не обязательно являются корнями.
  16. √(x²) = x − 4. Найдите корни и отвергните посторонние значения.

Ключ с проверкой исходных равенств

№ Кандидаты после квадратирования Допустимые корни Проверка и причина исключения
1 x = 3; x = −2 x = 3 Для x = −2 правая часть отрицательна; в оригинале √4 ≠ −2.
2 x = 0; x = 5 x = 5 При x = 0 правая часть −2, а √4 = 2.
3 x = −2; x = 2 x = 2 При x = −2 правая часть −1, модуль корня равен 1.
4 x = −1; x = 0 x = −1 и x = 0 Оба значения удовлетворяют исходному равенству: √1 = 1, √4 = 2.
5 x = 0; x = 2 x = 2 При нуле правая часть отрицательна: √1 = 1 ≠ −1.
6 x = 0; x = 3 x = 0 При x = 3 справа −2, а слева √4 = 2.
7 x = −4; x = 0 x = 0 x = −4 даёт 1 = −1 — ложь после квадратирования.
8 x = 0; x = 1 x = 0 и x = 1 При 0: 2 = 2; при 1: 3 = 3.
9 x = −3; x = 2 x = 2 x = −3 даёт √9 = 3 ≠ −3.
10 x = 0; x = 4 x = 4 x = 0 даёт √1 = 1 ≠ −1.
11 x = 0; x = 5 x = 0 При 5 справа −3, слева √9 = 3.
12 x = 0; x = 5 x = 5 При 0 справа −1, слева √1 = 1.
13 x = −4; x = 4 x = 4 x = −4 даёт 2 = −2; x = 4 даёт 6 = 6.
14 любое действительное x после формального квадратирования x ≥ 0 Слева |x|, поэтому отрицательные x не подходят.
15 любое действительное x после формального квадратирования x ≤ 0 |x| = −x верно только для неположительных x.
16 x = 2 нет решений x = 2 даёт |2| = 2 и справа −2; других кандидатов нет.

Почему гипотеза подтверждается не всегда

В № 4 и № 8 оба значения оказываются допустимыми. Укоренившееся заблуждение «после квадратирования всегда появляется один лишний корень» неверно: может не появиться ни одного, а может появиться сразу несколько лишних кандидатов. В № 14–15 квадратирование равенства √(x²) = ±x приводит к тождеству x² = x², но исходное уравнение верно лишь на определённой половине числовой прямой.

Итог исследования

Алгоритм: (1) установите область определения подкоренного выражения; (2) отметьте знак другой стороны; (3) возведите обе части в квадрат и найдите кандидатов; (4) обязательно подставьте их в исходное уравнение; (5) запишите только прошедшие проверку значения. Если квадратирование создаёт тождество, сохраняйте исходные ограничения, а не объявляйте решением всё множество действительных чисел.

Проверка знаний: по одному баллу за каждого верно отобранного кандидата или верно записанное множество в № 14–16; за угаданный ответ без проверки учитель может уменьшить балл. Важно: арифметический квадратный корень по определению неотрицателен.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым