Упрощение выражения с корнями при известном знаке переменной — задания на закрепление, 8 класс

Памятка для трёх серий. Для любого действительного A справедливо √(A²) = |A|, а не обязательно A. Если известно A ≥ 0, то √(A²) = A; если A < 0, то √(A²) = −A. Нельзя избавляться от корня, не изучив знак всего выражения под модулем.

Пример: при x < −2 величина x + 2 отрицательна, значит √((x + 2)²) = −x − 2. При x = −5 обе записи дают 3. При x = −2 корень равен нулю, поэтому границы условий со знаками ≥ и > надо читать внимательно.

Содержание статьи5 разделов

Серия 1. Один множитель — 6 быстрых примеров

Раскройте модуль с учётом известного знака; проверьте один выбранный вами допустимый числовой пример.

  1. √(x²), x ≥ 0
  2. √(x²), x &lt; 0
  3. √(9a²), a ≤ 0
  4. √(16b²), b &gt; 0
  5. √(25t²), t ≤ 0
  6. √(4p²), p ≥ 0

Серия 2. Знак выражения внутри скобок — 6 заданий

Сначала укажите знак выражения x − 3, 2x + 1, 5 − 2y или 3m + 6, а уже потом упрощайте.

  1. √((x − 3)²), x ≥ 3
  2. √((x − 3)²), x &lt; 3
  3. √((2x + 1)²), x &lt; −1/2
  4. √((5 − 2y)²), y ≤ 5/2
  5. √((5 − 2y)²), y &gt; 5/2
  6. √((3m + 6)²), m ≥ −2

Серия 3. Произведения и составные выражения — 12 заданий

Для произведения пригодится |ab| = |a|·|b|. В составных выражениях раскрывайте каждый модуль отдельно. В № 21–24 внимательно учитывайте условия сразу на несколько величин.

  1. √(a²b²), a &gt; 0, b &lt; 0
  2. √(36u²v²), u &lt; 0, v &lt; 0
  3. √(49c²d²), c &gt; 0, d ≤ 0
  4. √(4x²) + √(9x²), x &lt; 0
  5. √(x²) − 2x, x ≥ 0
  6. 3√(y²) + y, y &lt; 0
  7. √((x + 4)²) − x, x &lt; −4
  8. √((2z − 6)²) + z, z ≥ 3
  9. √(x²y²) + xy, x &gt; 0, y &lt; 0
  10. √((a − 1)²) + √((a + 1)²), a ≥ 1
  11. √((b − 2)²) + √(b²), 0 ≤ b &lt; 2
  12. √((2x − 1)²) − √(x²), x &lt; 0

Отдельный блок ответов с обоснованиями

Задание Упрощённая запись Почему верно
1 x Модуль неотрицательного x равен x.
2 −x При x &lt; 0 модуль равен −x.
3 −3a 3|a| = −3a, включая a = 0.
4 4b 4|b| = 4b.
5 −5t 5|t| = −5t.
6 2p 2|p| = 2p.
7 x − 3 Выражение под модулем неотрицательно.
8 3 − x Здесь x − 3 отрицательно.
9 −2x − 1 2x + 1 отрицательно по условию.
10 5 − 2y Внутреннее выражение неотрицательно.
11 2y − 5 5 − 2y отрицательно.
12 3m + 6 3m + 6 ≥ 0.
13 −ab ab &lt; 0, поэтому |ab| = −ab.
14 6uv uv положительно, |uv| = uv.
15 −7cd cd ≤ 0, поэтому |cd| = −cd.
16 −5x 2|x| + 3|x| = 5|x| = −5x.
17 −x x − 2x = −x.
18 −2y 3(−y) + y = −2y.
19 −2x − 4 При x &lt; −4 модуль x + 4 равен −x − 4.
20 3z − 6 2z − 6 ≥ 0.
21 0 |xy| + xy = −xy + xy = 0.
22 2a Оба выражения неотрицательны; (a − 1) + (a + 1).
23 2 |b − 2| + |b| = 2 − b + b.
24 1 − x |2x − 1| = 1 − 2x и |x| = −x; разность 1 − x.

Как проверить правильность упрощения

Подставьте два допустимых значения переменной (если они есть) в исходное выражение и в полученную формулу. Совпадение двух проб не доказывает тождество, но помогает обнаружить арифметическую ошибку. Полное доказательство опирается на знак подмодульного выражения и правило √(A²) = |A|. Если условие x < 0, подстановка x = 0 не проверяет ваше решение: ноль не принадлежит заданной области.

Для учителя: 24 коротких задания можно разделить на три самостоятельных этапа. Не засчитывайте ответ, который равен исходному выражению только при дополнительных, не указанных учеником условиях. Здесь подкоренное выражение — квадрат, поэтому корень определён для всех действительных переменных; ограничения на знак заданы не ради ОДЗ, а ради раскрытия модуля.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым