Распознавание ошибки в тождестве корень из квадрата — рабочий лист для 8 класса

Рабочий лист: найди логическую ошибку. Сравните формулы √(a²) = a и √(a²) = |a|. Только вторая истинна при любом действительном a. В первой забыто, что арифметический квадратный корень всегда неотрицателен; при a = −4 левая часть равна 4, а правая −4.

Содержание статьи5 разделов

Вступительная задача: откуда берётся неправильный ответ

Ученик сократил знак корня со степенью два и записал √((x − 7)²) = x − 7. При x = 3 он получил −4 вместо верного 4. Исправление: √((x − 7)²) = |x − 7|; чтобы убрать модуль, нужен знак x − 7. При x ≥ 7 это x − 7, при x < 7 — 7 − x.

Два способа разоблачить неверное тождество

Метод контрпримера: подставьте разрешённое значение переменной, для которого левая и правая части отличаются. Одного примера достаточно, чтобы опровергнуть утверждение «для всех». Метод определения: замените √(A²) на |A| и раскройте модуль по знаку A; этот способ даёт строгое доказательство для всех допустимых значений, а не только для нескольких проб.

20 утверждений — верно или ошибка?

Для каждого укажите «верно» или «неверно». Если неверно, исправьте правую часть либо допишите условие; для неверного общего тождества приведите допустимый контрпример.

  1. Для всех действительных x: √(x²) = x
  2. При x ≤ 0: √(x²) = −x
  3. При a ≥ −5: √((a + 5)²) = a + 5
  4. При a < −5: √((a + 5)²) = a + 5
  5. При t < 0: √(9t²) = 3t
  6. При u ≤ 0: √(25u²) = −5u
  7. При x > 3: √((3 − x)²) = x − 3
  8. При x > 2: √((x − 2)²) = 2 − x
  9. Для всех x: √((x + 2)²) = x + 2
  10. Для всех y: √((2y − 4)²) = 2|y − 2|
  11. При z ≥ 0: √((4z)²) = 4z
  12. При z > 0: √((4z)²) = −4z
  13. При a ≥ b: √((a − b)²) = a − b
  14. При a > b: √((a − b)²) = b − a
  15. Для всех x: √((x²)²) = x²
  16. При x < 0: √((−x)²) = x
  17. При t > 1/2: √((1 − 2t)²) = 1 − 2t
  18. При x = y: √((x − y)²) = 0
  19. При x > y: √((x − y)²) = x − y
  20. При x ≤ 1: √((x − 1)²) = 1 − x

Проверка: ответы и обоснования

№ Оценка Исправление или доказательство
1 Неверно При x = −3 получается 3 ≠ −3; верно √(x²) = |x|.
2 Верно −x ≥ 0, значит |x| = −x. Граница x = 0 допустима.
3 Верно a + 5 ≥ 0, поэтому модуль раскрыт верно.
4 Неверно Например, a = −7: √4 = 2, а справа −2; нужно −a − 5.
5 Неверно При t = −1 слева 3, справа −3; правильная запись −3t.
6 Верно 5|u| = −5u при u ≤ 0.
7 Верно 3 − x отрицательно, его модуль равен x − 3.
8 Неверно При x = 4 слева 2, справа −2; ответ x − 2.
9 Неверно При x = −4: 2 ≠ −2. Равенство возможно лишь при x ≥ −2.
10 Верно |2(y − 2)| = 2|y − 2|, так как множитель 2 положителен.
11 Верно 4z ≥ 0, поэтому |4z| = 4z.
12 Неверно При z = 1: 4 ≠ −4; корень не может быть отрицательным.
13 Верно По условию a − b ≥ 0.
14 Неверно a − b положительно, а b − a отрицательно. Например, a = 5, b = 2.
15 Верно Здесь под модулем стоит x², а x² ≥ 0.
16 Неверно −x > 0, поэтому √((−x)²) = −x, а x отрицателен.
17 Неверно При t = 1 слева 1, справа −1; нужно 2t − 1.
18 Верно Разность равна нулю и её квадратный корень равен нулю.
19 Верно x − y > 0, поэтому модуль совпадает с разностью.
20 Верно x − 1 ≤ 0; модуль равен 1 − x.

Сравнение методов

Контрпример быстрее всего отвергает слишком широкую формулу, например № 1 или № 9. Но две-три удачные подстановки не превращают формулу в доказанное тождество. Метод модуля обязателен в № 10 и № 15: именно он объясняет, почему равенство истинно при любом действительном аргументе.

Ловушка с областью определения. Запись √(A²) определена для каждого действительного A: подкоренное выражение A² ≥ 0. Ошибка в задачах этого листа не в том, что корень «не существует», а в неверном снятии модуля. Если переменная входит в дробь или другой отдельный корень, дополнительно проверяйте их собственные ограничения.

Оценивание: один балл за классификацию и ещё один за правильное исправление или доказательство. Максимум 40. Хороший результат — от 34 баллов; если неверны № 2, № 6 или № 15, повторите случаи нулевого и неотрицательного подмодульного выражения.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым