Сравнение разности корней без десятичного приближения — практикум с ответами для 8 класса
Практикум по точному сравнению. У корней не требуется вычислять десятичные значения. Задача — поставить знак <, > или = между двумя разностями, пользуясь порядком положительных чисел и рационализацией.
Содержание статьи6 разделов
Таблица выбора приёма
| Вид сравнения | Что сделать | Почему безопасно |
|---|---|---|
| √a − √b при a > b | Заменить на (a − b)/(√a + √b). | Знаменатель положителен, выражение равносильно исходному. |
| √a − n и рациональное r | Сравнить √a с n + r; при n + r ≥ 0 возвести в квадрат. | Возведение в квадрат сохраняет знак сравнения для неотрицательных чисел. |
| √(n + 1) − √n для разных n | Сравнить знаменатели √(n + 1) + √n. | Чем больше n, тем больше знаменатель и меньше разность. |
Разбор. Сравним √5 − 2 и 1/5. Прибавим 2: достаточно проверить √5 > 11/5. Обе стороны положительны. Их квадраты: 5 = 125/25 > 121/25. Значит, √5 − 2 > 1/5 без приближения.
Задания 1–8: знак сравнения
Для каждого примера укажите знак и приведите одно строгое основание (дробь со знаменателем-суммой или сравнение квадратов).
- √5 − 2 ? 1/5
- √10 − 3 ? 1/5
- √17 − 4 ? 1/10
- √26 − 5 ? 1/10
- √8 − √7 ? √7 − √6
- √3 − √2 ? √6 − √5
- 3 − √8 ? √8 − √7
- √12 − √11 ? √3 − √2
Задания 9–16: обоснуйте точный порог
Здесь вместо десятичного калькулятора используйте дробь 1/15, 1/18 или другой рациональный порог и положительность знаменателя.
- √50 − 7 ? 1/15
- √82 − 9 ? 1/18
- √2 − 1 ? 2/5
- √7 − √6 ? 1/4
- √5 − √3 ? 1/2
- √13 − √12 ? 1/6
- √19 − √18 ? 1/9
- √24 − √23 ? 1/9
Задания 17–20: доказать закономерность
Сравните две разности. В № 19 числитель после рационализации равен 4 с обеих сторон, а не 1.
- √6 − √5 ? √7 − √6
- √11 − √10 ? √10 − 3
- √14 − √10 ? √11 − √7
- √31 − √30 ? √26 − 5
Ответы и короткие строгие доказательства
| № | Знак | Основание |
|---|---|---|
| 1 | > | √5 > 11/5, так как 5 > 121/25. |
| 2 | < | √10 < 16/5, так как 10 < 256/25. |
| 3 | > | √17 > 41/10, потому что 17 > 1681/100. |
| 4 | < | √26 < 51/10: 26 < 2601/100. |
| 5 | < | 1/(√8 + √7) < 1/(√7 + √6): первый положительный знаменатель больше. |
| 6 | > | Разности равны 1/(√3 + √2) и 1/(√6 + √5); первый знаменатель меньше. |
| 7 | < | 3 − √8 = 1/(3 + √8); знаменатель 3 + √8 больше √8 + √7. |
| 8 | < | Обе разности соседних корней: 1/(√12 + √11) меньше 1/(√3 + √2). |
| 9 | > | 1/(√50 + 7) > 1/15, поскольку √50 < 8 и знаменатель < 15. |
| 10 | < | 1/(√82 + 9) < 1/18, поскольку √82 > 9. |
| 11 | > | √2 > 7/5: 2 > 49/25. |
| 12 | < | 1/(√7 + √6) < 1/4: обе √7 и √6 больше 2. |
| 13 | > | √5 > √3 + 1/2; после квадратирования 5 > 13/4 + √3, ведь 7/4 > √3 (49/16 > 3). |
| 14 | < | 1/(√13 + √12) < 1/6, так как оба корня больше 3. |
| 15 | > | √19 + √18 < 9: каждый корень меньше 9/2, а (9/2)² = 81/4 > 19. |
| 16 | < | √24 + √23 > 9: оба корня больше 9/2, так как 23 > 81/4. |
| 17 | > | Для одинакового приращения 1 большая начальная величина даёт меньшую разность корней. |
| 18 | < | Обе разности равны обратным суммам соответствующих корней, а √11 + √10 > √10 + 3. |
| 19 | < | При разности подкоренных чисел 4: 4/(√14 + √10) < 4/(√11 + √7). |
| 20 | < | Разности соседних корней: √31 + √30 > √26 + 5, поэтому обратная величина меньше. |
Контрольный вывод
Из a > b не следует, что √a − √b обязательно большая разность: важно не только расстояние a − b, но и масштаб самих чисел. Например, при одинаковой разности подкоренных чисел один «шаг» у больших корней короче. Если в одной задаче числитель после рационализации 4, а в другой 1, сравнивать только знаменатели нельзя — сначала учтите числители.
Самопроверка: за правильный знак — один балл, за безошибочное доказательство — ещё один. Всего 40. Десятичная оценка здесь не является доказательством: даже удачное округление может скрыть очень малую разницу.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.