Координаты середины отрезка по концам — проверочная работа, 9 класс
Проверочная, 9 класс. Если A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) — концы отрезка на координатной плоскости, его середина имеет координаты M((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2). Каждую координату усредняйте отдельно. Середина находится на самом отрезке, в том числе когда обе точки лежат на горизонтальной или вертикальной прямой.
Содержание статьи5 разделов
Шесть неверных решений: найди и исправь ошибку
Ниже указаны координаты концов и ошибочный ответ ученика. Для каждого пункта исправьте обе координаты и объясните, на каком действии произошла ошибка.
| № | Концы отрезка | Ошибочный ответ |
|---|---|---|
| 1 | A(−4; 2), B(6; 8) | M(−1; 5) |
| 2 | A(−3; 7), B(1; −1) | M(−2; 6) |
| 3 | A(8; −6), B(−2; 4) | M(5; −1) |
| 4 | A(2; 9), B(10; −3) | M(6; 6) |
| 5 | A(−5; −5), B(7; 1) | M(1; 3) |
| 6 | A(0; 8), B(0; −4) | M(0; 4) |
Самостоятельные задания
Для каждого отрезка найдите M. Покажите отдельно сумму абсцисс и сумму ординат. После вычисления проверьте, что M лежит посередине по каждой координате, а не только на одной из осей.
- A(−4; 10), B(8; −2).
- A(7; −9), B(−5; 3).
- A(−1/2; 3), B(5/2; −7).
- A(0; 0), B(12; −6).
- A(−8; −8), B(2; 4).
- A(9; 1), B(1; 9).
- A(2,4; −0,6), B(−1,2; 1,8). Здесь запятые обозначают десятичные дроби.
- A(−7; 5), B(7; 5).
- A(3; −11), B(3; 9).
Исправленные решения и ответы
| Ошибка | Как исправить |
|---|---|
| 1 | Верный x равен (−4+6)/2=1, а не −1; y=(2+8)/2=5. Ответ M(1; 5). |
| 2 | Ученик сложил координаты, но забыл деление на 2. Верно M(−1; 3). |
| 3 | Половина суммы абсцисс равна 3, не 5: (8−2)/2=3. Верно M(3; −1). |
| 4 | Сумма ординат равна 6, но среднее равно 3. Верно M(6; 3). |
| 5 | Среднее ординат (−5+1)/2=−2. Верно M(1; −2). |
| 6 | Среднее ординат (8−4)/2=2. Верно M(0; 2). |
| № | Ответ | Проверка вычисления |
|---|---|---|
| 7 | M(2; 4) | (−4+8)/2=2; (10−2)/2=4. |
| 8 | M(1; −3) | (7−5)/2=1; (−9+3)/2=−3. |
| 9 | M(1; −2) | (−1/2+5/2)/2=1; (3−7)/2=−2. |
| 10 | M(6; −3) | (0+12)/2=6; (0−6)/2=−3. |
| 11 | M(−3; −2) | (−8+2)/2=−3; (−8+4)/2=−2. |
| 12 | M(5; 5) | (9+1)/2=5; (1+9)/2=5. |
| 13 | M(0,6; 0,6) | (2,4−1,2)/2=0,6; (−0,6+1,8)/2=0,6. |
| 14 | M(0; 5) | (−7+7)/2=0; (5+5)/2=5: середина лежит на горизонтальной прямой. |
| 15 | M(3; −1) | (3+3)/2=3; (−11+9)/2=−1: середина лежит на вертикальной прямой. |
Оценивание без угадывания
За задания 1–6 дайте по 2 балла (один за найденную ошибку, один за правильную середину), за 7–15 — по 2 балла (правильное среднее x и правильное среднее y). Максимум — 30 баллов. Если одна координата ошибочна, пересчитайте сначала именно её, не меняя другую без причины. В задачах с десятичными дробями единицу измерения нужно сохранять, если координаты выражены, например, в метрах.
Проверка по симметрии: для середины M векторы от A к M и от M к B имеют одинаковые соответствующие координатные приращения. Например, в задаче 7 от A к M: (+6; −6), от M к B: (+6; −6). Этот приём помогает заметить даже ошибку знака.
Проверка через равные приращения
Формула среднего не единственный способ проверить точку. Если M действительно середина AB, горизонтальное смещение от A к M совпадает с горизонтальным смещением от M к B; то же относится к вертикальному. Обозначим приращения Δx и Δy. Тогда ΔxAM=xM−xA, ΔxMB=xB−xM. Для середины эти величины равны. Это проверка особенно полезна при отрицательных координатах: верно сохранённый знак автоматически даёт одинаковые направленные смещения.
В задании 11 получены A(−8; −8), M(−3; −2), B(2; 4). Проверьте: по горизонтали от −8 до −3 прибавили 5, а от −3 до 2 снова прибавили 5. По вертикали от −8 до −2 прибавили 6, а от −2 до 4 — ещё 6. Значит, середина найдена верно. При этом не нужно рассчитывать длину AM через теорему Пифагора: задача касается координат середины, а не длины отрезка.
Для отрезка, параллельного оси Ox, ординаты концов равны; такой же будет ордината середины. Для отрезка, параллельного оси Oy, совпадают абсциссы. В заданиях 14 и 15 это даёт быстрый геометрический контроль. Наконец, две одинаковые точки тоже имеют середину, совпадающую с ними; если концы одинаковы, формула остаётся верной, хотя длина отрезка равна нулю.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.