Вычисление внешнего угла правильного многоугольника: пошаговые задания для 9 класса

Тренажёр из трёх серий. Внешний угол выпуклого многоугольника — угол поворота при переходе с одной стороны на следующую, если мы обходим границу в одном направлении. Он смежный с внутренним углом при той же вершине. Для правильной фигуры все внешние углы равны.

Памятка: полный поворот

Если обойти выпуклый многоугольник, сделав по одному внешнему повороту при каждой вершине, суммарный поворот равен 360°. Поэтому для правильного n-угольника каждый внешний угол β = 360°/n, где n — целое число ≥ 3. Обратная формула: n = 360°/β. Не путайте эту величину с одним внутренним углом: они составляют в сумме 180°.

Серия I — найти величину одного поворота

При необходимости представьте угол точной обыкновенной дробью; пользоваться калькулятором не обязательно.

1. Правильный 3-угольник. Найдите внешний угол при вершине.
2. Правильный 4-угольник. Найдите внешний угол при вершине.
3. Правильный 5-угольник. Найдите внешний угол при вершине.
4. Правильный 6-угольник. Найдите внешний угол при вершине.
5. Правильный 8-угольник. Найдите внешний угол при вершине.
6. Правильный 9-угольник. Найдите внешний угол при вершине.
7. Правильный 10-угольник. Найдите внешний угол при вершине.
8. Правильный 12-угольник. Найдите внешний угол при вершине.

Серия II — восстановить число сторон

Проверьте, что результат получается целым числом не меньше трёх.

9. Внешний угол правильного многоугольника составляет 120°. Сколько сторон?
10. Внешний угол правильного многоугольника составляет 90°. Сколько сторон?
11. Внешний угол правильного многоугольника составляет 72°. Сколько сторон?
12. Внешний угол правильного многоугольника составляет 60°. Сколько сторон?
13. Внешний угол правильного многоугольника составляет 45°. Сколько сторон?
14. Внешний угол правильного многоугольника составляет 40°. Сколько сторон?
15. Внешний угол правильного многоугольника составляет 36°. Сколько сторон?
16. Внешний угол правильного многоугольника составляет 30°. Сколько сторон?

Серия III — объяснить, сравнить, проверить

17. Внешний угол 24°. Сколько сторон у правильного многоугольника?
18. Внешний угол 18°. Сколько сторон?
19. Внешний угол 15°. Сколько сторон?
20. Можно ли построить правильный многоугольник с внешним углом 35°?
21. Какая фигура имеет больший внешний угол: правильный 12- или 18-угольник?
22. После обхода восьмиугольника на каждом углу поворот составляет 45°. Чему равна сумма всех поворотов?
23. В правильном многоугольнике внешний угол вдвое меньше 60°. Найдите число сторон.
24. У правильной фигуры 7 сторон. Представьте внешний угол точной дробью.

Ключ ко всем 24 заданиям

Контроль правильности решения

При n ≥ 3 внешний угол строго больше 0° и не больше 120°. Утверждение «сумма внешних углов равна 360°» верно и для любого выпуклого многоугольника при выборе по одному внешнему повороту у каждой вершины, но равенство этих углов гарантируется только правильностью фигуры. Это различие важно для задач 21–22.

Совет учителю: предложите ученику изобразить направления движения вдоль сторон правильного шестиугольника: он шесть раз повернёт на 60°, совершив один полный оборот. Затем объясните на том же рисунке, почему число 120° относится к внутреннему углу, а 60° — к внешнему. В № 24 не допускайте ненужного округления: ответ 360/7° точен.

Подробная работа со схемой поворотов

Представьте, что вы проходите по границе квадрата против часовой стрелки. В каждой вершине вы поворачиваете налево на 90°. Четыре одинаковых поворота возвращают исходное направление: 4·90°=360°. У правильного пятиугольника повороты меньше: 360°/5=72°. У правильного восьмиугольника каждый поворот составляет 45°. Число 360° характеризует полный обход, а не один угол многоугольника.

Обратная задача устроена так же просто. Если угол поворота равен 24°, то, чтобы сделать полный круг, потребуется 360/24=15 равных поворотов. Значит, у правильного многоугольника 15 вершин и 15 сторон. Если получилась дробь вместо целого числа, то такого правильного многоугольника нет, например при 35°. Не округляйте 72/7 до ближайшего целого: округление не создаст геометрическую фигуру с недопустимым количеством сторон.

Три проверки при каждом вычислении

Первая: внешний угол должен быть положительным и для правильного n-угольника не превышать 120°, потому что n≥3. Вторая: произведение найденного угла на число сторон должно быть равно 360° в точности. Третья: смежный с ним внутренний угол равен 180°−β. Для правильного 12-угольника β=30°, внутренний угол 150°. Сумма этих величин 180° — проверка того, что вы не перепутали угол поворота и угол внутри фигуры.

Если n=7, то угол β=360/7°. Для семи вершин получим сумму 7·360/7°=360° точно. А если преждевременно принять β за 51°, сумма составит лишь 357°, и три градуса «потеряются». Поэтому в заданиях с делением без остатка лучше пользоваться обыкновенными дробями. Десятичное округление годится для чертежа, но не как точное значение.

Типичное неверное утверждение: «у любого выпуклого восьмиугольника каждый внешний угол равен 45°». На самом деле 45° получается у правильного восьмиугольника. У произвольного выпуклого сумма поворотов всё равно 360°, но отдельные углы могут отличаться. Другой частый промах — считать внешний угол по формуле 180−360/n, которая даёт внутренний угол. При работе с многоугольником всегда подписывайте, какой угол требуется в условии.