Площадь правильного шестиугольника через сторону — практикум с ответами для 9 класса

Проверочная работа для 9 класса. Площадь правильного шестиугольника нужно находить именно через сторону a. Сторона положительна, если речь идёт о настоящей геометрической фигуре, а не об абстрактном квадратном уравнении.

Доказательство перед заданиями

Соедините центр правильного шестиугольника со всеми шестью вершинами. Получатся шесть равносторонних треугольников со стороной a: центральный угол 360°/6=60°, а два радиуса описанной окружности равны стороне. Площадь одного равностороннего треугольника равна √3·a²/4. Поэтому:

S = 6·(√3·a²/4) = (3√3/2)·a². При удвоении стороны площадь возрастает вчетверо, потому что входит квадрат a². Это полезная проверка почти для любого задания.

Базовый уровень — вычислите точную площадь

Не заменяйте √3 приближением 1,73: здесь нужны точные выражения с корнем. Старайтесь сперва вычислить a².

1. 1. Сторона a = 2 см. Найдите S.
2. 2. Сторона a = 4 м. Найдите S.
3. 3. a = 6 дм. Найдите S.
4. 4. a = 10 мм. Найдите S.
5. 5. a = 1/2 см. Найдите S.
6. 6. a = 3 м. Найдите S.
7. 7. a = 8 см. Найдите S.

Средний уровень — восстановление стороны и сравнение

8. 8. Площадь S = 24√3 см². Найдите сторону.
9. 9. S = 54√3 м². Найдите a.
10. 10. S = 6√3 дм². Найдите a.
11. 11. S = 150√3 мм². Найдите a.
12. 12. Один шестиугольник имеет a=3 см, второй a=6 см. Сравните площади.
13. 13. Сторону шестиугольника уменьшили в 2 раза. Как изменится площадь?
14. 14. Сторону увеличили на 50%. Во сколько раз выросла площадь?

Повышенный уровень — связанные задачи и единицы

15. 15. Периметр равен 30 см. Найдите площадь.
16. 16. Сравните площадь шестиугольника и равностороннего треугольника с той же стороной a.
17. 17. Найдите площадь одной из шести равных частей при a=4 см.
18. 18. Дано a = 20 см. Выразите S в м².

Критерии самопроверки

• Укажите правильную формулу площади, а не периметра: множитель при a² равен 3√3/2.
• При обратной задаче выберите только положительный корень: отрицательная длина стороны невозможна.
• Запишите единицу площади со знаком квадрата: см², м², дм² или мм²; при переводе единиц квадратным должен быть и коэффициент перевода.
• В задачах на подобие умножайте площадь на квадрат изменения длины, а не на его первую степень.

Полный ключ ответов

Проверка смысловых ловушек

Периметр P=6a имеет размерность длины, площадь S=(3√3/2)a² — размерность квадрата длины. Подстановка в площадь периметра вместо стороны увеличила бы значение в 36 раз. Для № 18 переведите 20 см в 1/5 м до возведения в квадрат; иначе легко ошибочно поделить на 100 вместо 10 000 при переходе от см² к м².

Можно проверить вывод формулы через апофему: высота каждого из шести равносторонних треугольников равна a√3/2, а полупериметр равен 3a. Площадь равна (полупериметр)·(апофема) = 3a·(a√3/2) = (3√3/2)a². Независимая проверка особенно полезна перед контрольной.

Шкала: 16–18 правильно — уверенный уровень; 13–15 — повторите обратные задачи и перевод единиц; ниже 13 — начните с разбиения шестиугольника на равносторонние треугольники. Для № 8–11 обязательны условие a>0 и окончательная проверка квадратом.

Дополнительное объяснение двух уровней сложности

На базовом уровне достаточно вычислить квадрат стороны и умножить его на 3√3/2. Например, при a=6 дм имеем a²=36 дм² и S=54√3 дм². Нельзя записывать 54√3 дм, потому что в формуле участвует произведение двух длин. При a=1/2 см получаем площадь 3√3/8 см²: сначала возводим 1/2 в квадрат и только после этого умножаем коэффициенты. Если сначала забыть квадрат знаменателя, получим ошибочный ответ.

Обратная задача начинается с равенства a²=2S/(3√3). Если S=24√3 см², то после сокращения √3 выходит a²=16 см². Алгебраическое уравнение a²=16 имеет два корня −4 и 4, но сторона геометрической фигуры положительна, значит, a=4 см. Так проверяются допустимые значения в № 8–11. После ответа восстановите площадь подстановкой — получиться должно исходное выражение, без десятичных округлений.

Для сравнения двух подобных фигур важно не путать длину и площадь. Стороны 3 и 6 см отличаются в два раза, а их квадраты — в четыре: отношение площадей 9:36=1:4. Если сторону увеличить на 50%, то она станет равна 3a/2, а площадь умножится на 9/4. Число 1,5 вместо 2,25 было бы правильно лишь для периметра. Счёт по квадратам — универсальный способ проверить такие ответы.

Как проверить площадь без калькулятора

Вырежьте или начертите правильный шестиугольник и соедините центр со всеми вершинами. У вас получится шесть одинаковых равносторонних треугольников. Для a=4 см площадь каждого треугольника равна (√3/4)·16=4√3 см², поэтому вместе они имеют площадь 24√3 см². Тот же ответ следует из общей формулы (3√3/2)·16=24√3 см². Две независимые проверки особенно помогают заметить потерянный множитель 2.

В последнем задании переход от сантиметров к метрам можно сделать двумя способами. Первый: a=20 см=0,2 м, так что S=(3√3/2)·0,04=0,06√3 м². Второй: S=(3√3/2)·400=600√3 см²; делим на 10 000 и получаем тот же результат 0,06√3 м², то есть 3√3/50 м². Правило: коэффициент перевода площади — квадрат коэффициента перевода длины.