Логарифмические неравенства с переменной в аргументе и ОДЗ: примеры и объяснения для 10 класса

Здесь задача начинается с области допустимых значений (ОДЗ): переменная стоит в аргументе логарифма, иногда сразу в двух аргументах, дроби или квадратном выражении. Условие «аргумент строго больше нуля» нельзя заменять на «не равен нулю». Решение — пересечение ОДЗ с неравенством после преобразования.

Проверочная памятка: три последовательных фильтра

Фильтр 1. Укажите основание a: a > 0, a ≠ 1. Если 0 < a < 1, функция убывает и знак при переходе к аргументу меняется. Фильтр 2. Выпишите отдельно положительность каждого аргумента. Фильтр 3. Решите полученное алгебраическое неравенство и пересеките ответ с ОДЗ.

Пример на разрыв: log₂(x² − 9) < 1. ОДЗ x < −3 или x > 3. Сравнение даёт x² − 9 < 2, то есть x² < 11. Пересекаем: −√11 < x < −3 либо 3 < x < √11. Концы ±3 не входят, потому что там логарифм от нуля.

Базовые задания — проверка ОДЗ

1. log₂(x − 4) > 1.
2. log₃(7 − 2x) ≥ 1.
3. log_1/2(x + 2) > −1.
4. log₂((x + 2)/(x − 2)) > 0.
5. log_1/2(2x + 3) ≤ −2.
6. log_1/2(8 − x) < 0.

Повышенный уровень — многочлены и дроби

1. log₂((x − 1)(x − 5)) ≥ 0.
2. log₃(x² − 9) < 1.
3. log₃(x² − 4x + 3) > 0.
4. log₂((x − 2)/(x + 1)) ≥ 0.
5. log₂((x − 1)²) > 1.
6. log₂((x² − 1)/(x − 2)) > 0.

Разбираем особые случаи со знаком аргумента

В дроби (x − 2)/(x + 1) оба множителя могут быть отрицательными, тогда частное положительно и сам логарифм существует. Но для неравенства log₂((x − 2)/(x + 1)) ≥ 0 требуется более сильное условие: частное не меньше 1. После сравнения получаем −3/(x + 1) ≥ 0. Отсюда x < −1; это пример, в котором допустимые отрицательные значения x действительно входят в ответ.

Для log₃(x² − 4x + 3) > 0 не обязательно находить нули исходного квадратного аргумента заранее. Поскольку основание больше единицы, аргумент должен превосходить 1, значит x² − 4x + 2 > 0. Это условие автоматически делает аргумент положительным, но его нужно всё же осознать как ОДЗ. Получаются два луча x < 2 − √2 и x > 2 + √2.

Если логарифмы стоят по разные стороны знака, например log₂(x + 2) ≥ log₂(x²), нужно требовать положительности обоих аргументов до сравнения. Здесь x > −2 и x ≠ 0. Сравнение x + 2 ≥ x² даёт отрезок [−1; 2], но точка 0 удаляется. Ответ поэтому распадается на два промежутка: [−1; 0) и (0; 2].

Уровень исследования — несколько логарифмов и интервалы

1. log₂(x − 1) < log₂(5 − x).
2. log₂(x + 1) + log₂(x − 3) > 2.
3. log₃(x − 1) − log₃(x − 4) ≤ 1.
4. log₃((x − 1)/(x + 2)) < 0.
5. log₂(x + 2) ≥ log₂(x²).
6. log₂(x² − 5x + 6) ≤ 0.

Полные ответы с ОДЗ: базовый уровень

1. x > 6. ОДЗ x > 4; x − 4 > 2; итог x > 6.
2. x ≤ 2. ОДЗ x < 7/2; 7 − 2x ≥ 3, откуда x ≤ 2.
3. −2 < x < 0. При основании 1/2 знак меняется: 0 < x + 2 < 2.
4. x > 2. Нужно (x + 2)/(x − 2) > 1, то есть 4/(x − 2) > 0; эти значения обеспечивают ОДЗ.
5. x ≥ 1/2. При убывающем логарифме 2x + 3 ≥ 4; аргумент положителен.
6. x < 7. log_1/2(8 − x) < 0 означает 8 − x > 1; ОДЗ автоматически.

Полные ответы с ОДЗ: повышенный уровень

1. x ≤ 3 − √5 либо x ≥ 3 + √5. Произведение (x − 1)(x − 5) ≥ 1. По решению квадратного неравенства получаем границы; на них аргумент равен 1 и разрешён.
2. (−2√3; −3) ∪ (3; 2√3). ОДЗ x < −3 или x > 3; 0 < x² − 9 < 3.
3. x < 2 − √2 либо x > 2 + √2. x² − 4x + 3 > 1, то есть (x − 2)² > 2; ОДЗ следует из аргумента > 1.
4. x < −1. Из (x − 2)/(x + 1) ≥ 1 следует −3/(x + 1) ≥ 0; x = −1 исключён.
5. x < 1 − √2 либо x > 1 + √2. (x − 1)² > 2, аргумент строго положителен.
6. x > 2. (x² − 1)/(x − 2) > 1 равносильно (x² − x + 1)/(x − 2) > 0. Числитель всегда положителен, знаменатель должен быть положителен.

Полные ответы с ОДЗ: уровень исследования

1. 1 < x < 3. ОДЗ 1 < x < 5; сравнение x − 1 < 5 − x даёт x < 3.
2. x > 1 + 2√2. ОДЗ x > 3; (x + 1)(x − 3) > 4 ⇒ x² − 2x − 7 > 0; отрицательная ветвь не входит в ОДЗ.
3. x ≥ 11/2. ОДЗ x > 4; (x − 1)/(x − 4) ≤ 3 ⇒ x − 1 ≤ 3x − 12 ⇒ x ≥ 11/2.
4. x > 1. Нужно 0 < (x − 1)/(x + 2) < 1; при x < −2 дробь больше 1, а при x > 1 — между 0 и 1.
5. [−1; 0) ∪ (0; 2]. ОДЗ x > −2 и x ≠ 0; x + 2 ≥ x² ⇒ −1 ≤ x ≤ 2, исключаем 0.
6. [(5 − √5)/2; 2) ∪ (3; (5 + √5)/2]. ОДЗ x < 2 или x > 3; условие 0 < (x − 2)(x − 3) ≤ 1 даёт указанное пересечение.

Рассмотрим дополнительно первую границу в заключительном задании. Уравнение (x − 2)(x − 3) = 1 имеет два корня (5 − √5)/2 и (5 + √5)/2. Оба корня соответствуют аргументу 1, поэтому log₂1 = 0 и при знаке «≤» обе крайние точки включаются. Точки x = 2 и x = 3 не включаются, поскольку дают аргумент 0. Неравенство 0 < (x − 2)(x − 3) ≤ 1 и объясняет смешанные круглые и квадратные скобки в ответе.

При основании меньше единицы граница тоже проверяется по исходному знаку. Так, log_1/2(x + 2) > −1 означает 0 < x + 2 < 2, а не x + 2 > 2. Точка x = 0 даёт ровно −1 и поэтому исключается, точка x = −2 недопустима, поскольку её аргумент равен нулю. Эти две проверки позволяют избежать случайной смены направления при решении.

Критерии самопроверки и тонкие места

За каждое из 18 заданий: 1 балл за исходную ОДЗ, 1 балл за верное направление неравенства, 1 балл за точный интервал. Всего 54 балла. Отдельно проверьте круглые и квадратные скобки: точка с аргументом 0 исключена всегда, точка с аргументом 1 может входить в ответ.

Задания 3, 5 и 6 первого уровня демонстрируют переключение направления при основании 1/2. Задания 4 и 6 повышенного уровня показывают, что нельзя умножать на знаменатель с неизвестным знаком без разбора интервалов. В последнем задании ОДЗ образует два луча — решение квадратного неравенства нужно с ними пересечь.

Финальная проверка: возьмите по одной внутренней точке каждого полученного интервала и по одной точке вне ответа. Убедитесь, что все логарифмы определены и знак неравенства выполняется только внутри множества решений. Такой способ выявляет ошибки на границах и при делении на переменное выражение.