Определение промежутка возрастания по графику производной: задачи и решения для 11 класса

Мини-тест по чтению графика производной. В заданиях задан именно график f′, а не график исходной функции. Каждая ломаная получается соединением приведённых точек прямыми отрезками; за пределами крайних абсцисс график не задан. Это точный способ описать график на печатном листе без неточных рисунков.

Прежде чем отвечать

Если f′(x) > 0 на интервале, то f на нём возрастает. Если f′(x) < 0 — убывает. Сам факт f′(a) = 0 не означает экстремум; нужно смотреть знак по соседству. Пример: график f′ проходит через (0; −2), (2; 0), (4; 2). На (2; 4) значение f′ положительно, значит f там возрастает. Точки, в которых f′ равна нулю, обычно отмечают границами знаковых промежутков. Здесь приводим открытые интервалы, не утверждая ничего за пределами заданного отрезка.

Часть A. Выбрать и вычислить

Номера 1–5: определите, с какой стороны нуля f′ находится выше горизонтальной оси. В № 4 нулевой горизонтальный фрагмент требует разделить области, не соединяя их через участок постоянной функции.

1. По графику f′, полученному соединением точек (0; -2); (2; 0); (4; 3); (6; -3), укажите все участки, на которых f строго возрастает внутри данного отрезка. Найдите нули производной, влияющие на ответ.
2. По графику f′, полученному соединением точек (0; 3); (2; -1); (4; -3); (6; 1), укажите все участки, на которых f строго возрастает внутри данного отрезка. Найдите нули производной, влияющие на ответ.
3. По графику f′, полученному соединением точек (-3; 0); (-1; 2); (1; 0); (3; -2), укажите все участки, на которых f строго возрастает внутри данного отрезка. Найдите нули производной, влияющие на ответ.
4. По графику f′, полученному соединением точек (1; -4); (3; 0); (5; 0); (7; 5), укажите все участки, на которых f строго возрастает внутри данного отрезка. Есть ли на графике производной нулевой горизонтальный участок?
5. По графику f′, полученному соединением точек (-4; 2); (-2; 2); (0; -2); (2; -2), укажите все участки, на которых f строго возрастает внутри данного отрезка. Найдите нули производной, влияющие на ответ.

Часть Б. Самостоятельно указать интервалы

Номера 6–10: сначала найдите места пересечения ломаной с осью y = 0. Для отрезка от (a; u) до (b; v) с разными знаками вычисляйте x₀ = a − u(b − a)/(v − u).

6. По графику f′, полученному соединением точек (0; -1); (2; 3); (4; 1); (6; -3), укажите все участки, на которых f строго возрастает внутри данного отрезка. Найдите нули производной, влияющие на ответ.
7. По графику f′, полученному соединением точек (-2; 0); (0; -3); (2; 2); (4; 0), укажите все участки, на которых f строго возрастает внутри данного отрезка. Найдите нули производной, влияющие на ответ.
8. По графику f′, полученному соединением точек (0; 5); (2; 1); (4; -1); (6; 3), укажите все участки, на которых f строго возрастает внутри данного отрезка. Найдите нули производной, влияющие на ответ.
9. По графику f′, полученному соединением точек (1; -2); (3; 2); (5; -2); (7; 2), укажите все участки, на которых f строго возрастает внутри данного отрезка. Найдите нули производной, влияющие на ответ.
10. По графику f′, полученному соединением точек (-3; 2); (-1; 0); (1; 0); (3; 4), укажите все участки, на которых f строго возрастает внутри данного отрезка. Есть ли на графике производной нулевой горизонтальный участок?

Часть В. Объяснить ответ

Номера 11–14: сообщите, почему положительная ордината графика f′ означает рост самой функции, но не означает, что f принимает положительные значения.

11. По графику f′, полученному соединением точек (0; -3); (2; -1); (4; -2); (6; -1), укажите все участки, на которых f строго возрастает внутри данного отрезка. Найдите нули производной, влияющие на ответ.
12. По графику f′, полученному соединением точек (0; 0); (2; 2); (4; 0); (6; 2), укажите все участки, на которых f строго возрастает внутри данного отрезка. Найдите нули производной, влияющие на ответ.
13. По графику f′, полученному соединением точек (-5; -2); (-3; 1); (-1; 2); (1; -1), укажите все участки, на которых f строго возрастает внутри данного отрезка. Найдите нули производной, влияющие на ответ.
14. По графику f′, полученному соединением точек (0; 2); (1; -2); (3; 2); (4; -2), укажите все участки, на которых f строго возрастает внутри данного отрезка. Найдите нули производной, влияющие на ответ.

Лист ответов и комментарии

Типичные неверные варианты

«f возрастает, потому что линия производной поднимается». Это неверно: поднимающаяся линия f′ может оставаться ниже оси, так что f убывает. «В каждой точке f′ = 0 есть максимум». Нет: знак может остаться прежним. «Можно продолжить график правее последнего узла». Нельзя: область данных ограничена крайними точками.

В ответах указаны открытые знаковые интервалы. Если f непрерывна на их замыканиях, промежуток строгого возрастания часто допустимо записывать и с граничными точками; здесь для единообразия используется запись по открытым интервалам. В условии с нулевым отрезком через него продлевать строгое возрастание нельзя.