Подсчёт точек максимума по графику производной для 11 класса — упражнения с разбором

Исследование: где на графике производной спрятаны максимумы? Производная показывает направление изменения функции: f′ > 0 означает рост, f′ < 0 — убывание. Локальный максимум появляется при смене знака с плюса на минус (при непрерывной f и соответствующем поведении производной). Не путайте максимум функции f с вершиной графика самой f′.

Наблюдение и гипотеза

Даны точки графика f′: (−2; 2), (0; 0), (2; −3). Соединяем соседние точки. До нуля производная положительна, после — отрицательна, поэтому при x = 0 у функции f строгий локальный максимум. Если поменять знаки с минуса на плюс, получится минимум. Если график f′ коснётся оси и останется с той же стороны, экстремум не возникнет.

Гипотеза: число максимумов равно количеству переходов графика f′ через ось абсцисс сверху вниз. Ниже проверяем её на случаях с двумя и тремя переходами, касанием оси и нулевым участком.

Проверка на примерах — задания 1–7

Каждая таблица точек задаёт ломаную f′ на отрезке; соединять точки следует строго по порядку. Не считайте крайние точки интервала локальными максимумами: рассматриваем только внутренние точки.

1. Постройте ломаную-график f′ по точкам (-4; 2); (-2; 0); (0; -2); (2; -1), соединяя соседние точки. Сколько точек строгого локального максимума у f внутри интервала крайних абсцисс? Запишите их абсциссы.
2. Постройте ломаную-график f′ по точкам (-3; -2); (-1; 2); (1; -2); (3; 2), соединяя соседние точки. Сколько точек строгого локального максимума у f внутри интервала крайних абсцисс? Запишите их абсциссы.
3. Постройте ломаную-график f′ по точкам (0; 3); (1; -3); (2; 3); (3; -3); (4; 3), соединяя соседние точки. Сколько точек строгого локального максимума у f внутри интервала крайних абсцисс? Запишите их абсциссы.
4. Постройте ломаную-график f′ по точкам (0; -1); (2; -2); (4; 1); (6; 2), соединяя соседние точки. Сколько точек строгого локального максимума у f внутри интервала крайних абсцисс? Запишите их абсциссы.
5. Постройте ломаную-график f′ по точкам (-3; 2); (-1; 0); (1; 2); (3; 0); (5; -2), соединяя соседние точки. Сколько точек строгого локального максимума у f внутри интервала крайних абсцисс? Запишите их абсциссы.
6. Постройте ломаную-график f′ по точкам (0; 2); (2; 0); (4; 0); (6; -2), соединяя соседние точки. Сколько точек строгого локального максимума у f внутри интервала крайних абсцисс? Запишите их абсциссы.
7. Постройте ломаную-график f′ по точкам (-2; -2); (0; 2); (2; 2); (4; -2), соединяя соседние точки. Сколько точек строгого локального максимума у f внутри интервала крайних абсцисс? Запишите их абсциссы.

Независимое исследование — задания 8–14

Теперь попробуйте перед подсчётом отметить все абсциссы, в которых f′ равно нулю. Если нуль не совпал с узлом ломаной, найдите его линейной интерполяцией. Нулевой участок сам по себе не добавляет строгий максимум.

8. Постройте ломаную-график f′ по точкам (0; 1); (2; -1); (4; 1); (6; -1), соединяя соседние точки. Сколько точек строгого локального максимума у f внутри интервала крайних абсцисс? Запишите их абсциссы.
9. Постройте ломаную-график f′ по точкам (-4; 2); (-2; -2); (0; 2); (2; -2); (4; 2), соединяя соседние точки. Сколько точек строгого локального максимума у f внутри интервала крайних абсцисс? Запишите их абсциссы.
10. Постройте ломаную-график f′ по точкам (0; 2); (1; 0); (3; 2); (4; -1), соединяя соседние точки. Сколько точек строгого локального максимума у f внутри интервала крайних абсцисс? Запишите их абсциссы.
11. Постройте ломаную-график f′ по точкам (-2; -2); (0; -1); (2; 0); (4; 3), соединяя соседние точки. Сколько точек строгого локального максимума у f внутри интервала крайних абсцисс? Запишите их абсциссы.
12. Постройте ломаную-график f′ по точкам (0; -2); (2; 2); (4; 0); (6; -2), соединяя соседние точки. Сколько точек строгого локального максимума у f внутри интервала крайних абсцисс? Запишите их абсциссы.
13. Постройте ломаную-график f′ по точкам (-3; 2); (-1; -2); (1; -2); (3; 2); (5; -2), соединяя соседние точки. Сколько точек строгого локального максимума у f внутри интервала крайних абсцисс? Запишите их абсциссы.
14. Постройте ломаную-график f′ по точкам (-4; 0); (-2; 3); (0; 0); (2; -3), соединяя соседние точки. Сколько точек строгого локального максимума у f внутри интервала крайних абсцисс? Запишите их абсциссы.

Проверка гипотезы: полные ответы

Выводы исследования

Нельзя подсчитывать «все пересечения f′ с осью» без определения направления: переход с − на + даёт минимум, а касание с сохранением знака не создаёт экстремума. Если f′ некоторое время равна нулю, f постоянна на этом участке; каждая внутренняя точка такого участка не является строгим максимумом. Если график f′ на участке совсем не задан, определить максимум там нельзя.

При проверке учитель отдельно оценивает правильное количество и каждую абсциссу. На ломаной переход между двумя узлами может случиться в дробной точке: округлять её до целой нельзя. В задачах сказано, что f дифференцируема внутри указанного отрезка и что её производная имеет описанный график.