Нахождение производной в точке по наклону касательной: примеры и объяснения для 11 класса

Пошаговый разбор. Важно различать значение функции, значение производной и угол наклона касательной. Геометрическая производная — это изменение вертикальной координаты на единицу изменения горизонтальной координаты вдоль касательной. Если вам даны две точки исходного криволинейного графика, их наклон задаёт секущую и не обязательно совпадает с производной.

Два способа найти производную по касательной

Если f дифференцируема при x₀, то f′(x₀) равна угловому коэффициенту касательной в точке (x₀; f(x₀)). По двум любым различным точкам самой касательной A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) получаем k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), если x₂ ≠ x₁. По углу наклона α к положительному направлению оси Ox: k = tg α, если касательная не вертикальна. Угол наклона прямой выбирается между 0° и 180°.

Пример 1. Касательная при x₀ = 2 проходит через (1; 3) и (5; 11). Её наклон равен (11 − 3)/(5 − 1) = 2; значит f′(2) = 2. Обратите внимание: 2 здесь не обязательно является ни f(2), ни значением x в точках, выбранных на касательной.

Пример 2. Касательная при x₀ = −1 образует с Ox угол 135°. Тогда f′(−1) = tg 135° = −1: график функции в этой точке идёт вниз при движении вправо.

Пример 3. Горизонтальная касательная имеет k = 0 и f′(x₀) = 0. Вертикальная прямая не является графиком y = kx + b ни при каком конечном k; у обычной дифференцируемой функции конечная производная в такой точке отсутствует. Но f′(x₀) = 0 не гарантирует локальный экстремум.

Практика с подсказками: два набора точек

В номерах 1–6 вычислите Δy и Δx, затем разделите. В номерах 7–12 заранее предскажите знак по расположению точек (справа выше/ниже), а после проверьте дробью. Все пары относятся к одной и той же касательной в соответствующей задаче.

1. При x₀ = 2 касательная проходит через A(-2; 3) и B(4; 15). Найдите f′(x₀), покажите вычисление Δy/Δx и назовите направление наклона касательной.
2. При x₀ = −1 касательная проходит через A(-3; 8) и B(1; 0). Найдите f′(x₀), покажите вычисление Δy/Δx и назовите направление наклона касательной.
3. При x₀ = 0 касательная проходит через A(0; -4) и B(5; -4). Найдите f′(x₀), покажите вычисление Δy/Δx и назовите направление наклона касательной.
4. При x₀ = 3 касательная проходит через A(-1; 7) и B(3; 5). Найдите f′(x₀), покажите вычисление Δy/Δx и назовите направление наклона касательной.
5. При x₀ = −2 касательная проходит через A(2; 3) и B(6; 4). Найдите f′(x₀), покажите вычисление Δy/Δx и назовите направление наклона касательной.
6. При x₀ = 4 касательная проходит через A(-2; -1) и B(2; 4). Найдите f′(x₀), покажите вычисление Δy/Δx и назовите направление наклона касательной.
7. При x₀ = 1 касательная проходит через A(-4; 6) и B(2; -3). Найдите f′(x₀), покажите вычисление Δy/Δx и назовите направление наклона касательной.
8. При x₀ = −3 касательная проходит через A(3; -2) и B(7; 1). Найдите f′(x₀), покажите вычисление Δy/Δx и назовите направление наклона касательной.
9. При x₀ = 5 касательная проходит через A(-1; 0) и B(5; -12). Найдите f′(x₀), покажите вычисление Δy/Δx и назовите направление наклона касательной.
10. При x₀ = 2 касательная проходит через A(0; 5) и B(8; 3). Найдите f′(x₀), покажите вычисление Δy/Δx и назовите направление наклона касательной.
11. При x₀ = −4 касательная проходит через A(-5; -2) и B(1; 7). Найдите f′(x₀), покажите вычисление Δy/Δx и назовите направление наклона касательной.
12. При x₀ = 6 касательная проходит через A(-2; 9) и B(4; 6). Найдите f′(x₀), покажите вычисление Δy/Δx и назовите направление наклона касательной.

Угол наклона, неверные выводы и особые случаи

13. При x₀ = 1 угол наклона касательной равен 45°. Найдите f′(1).
14. В точке x₀ = 7 касательная образует с положительной осью Ox угол 135°. Найдите f′(7).
15. В точке x₀ = 0 касательная горизонтальна. Чему равна f′(0)?
16. В описании касательная при x₀ = 2 вертикальна. Может ли f′(2) быть равна 0?
17. При x₀ = −2 угол касательной 0°. Сравните f′(−2) и 1.
18. Касательная проходит через точки (−2; 1) и (4; 1). Ученик написал f′(x₀) = 1. Исправьте ошибку.

Ответы: вычисления по шагам

Задания 13–18

Как сравнить два метода

При известных координатах двух точек прямой надёжнее использовать k = Δy/Δx: метод работает и для дробных коэффициентов. При заданном угле α удобно использовать tg α, но нельзя подменять этим отношением косинус или синус. В обоих методах перед записью ответа убедитесь, что речь идёт о касательной к функции именно при указанном x₀, а не о произвольной секущей.

Самопроверка: положительное значение означает локальный подъём графика при движении вправо; отрицательное — спад; нулевое — горизонтальную касательную. Сам по себе знак производной не сообщает, положительно или отрицательно значение f(x₀). Для вертикальной прямой вывод «бесконечная производная» не является конечным действительным числом.