Площадь поверхности шара по заданному диаметру — задания на закрепление, 11 класс

Здесь вычисляется именно площадь поверхности шара, а не объём и не площадь круга-сечения. Если дан диаметр d, радиус равен d/2. Поэтому S = 4π(d/2)² = πd². Ответ в квадратных единицах: см², м², дм². Возьмите π ≈ 3,14 только там, где требуется десятичная оценка.

Быстрая диагностика перед работой

1. Какая формула пригодна при известном диаметре: πd², 2πd или πd³? Объясните, почему две другие не подходят.
2. Верно ли, что при увеличении диаметра вдвое площадь поверхности увеличится ровно вдвое? Обоснуйте квадратом диаметра.
3. Чему равен радиус при диаметре 18 мм? Какую единицу будет иметь площадь?

Карточка: десять самостоятельных заданий

1. Шар имеет диаметр 3 см. Найдите точную площадь поверхности.
2. Диаметр 5 дм. Представьте площадь через π.
3. Диаметр 7 м. Найдите площадь в м².
4. Диаметр 12 мм. Найдите площадь в мм².
5. Диаметр 14 см. Найдите площадь в см².
6. Диаметр 0,4 м. Вычислите площадь в м² и в см².
7. Диаметр 75 мм. Выразите площадь в мм²; не округляйте промежуточный результат.
8. Диаметр 2,5 дм. Запишите точную площадь в дм².
9. Для шара известна площадь поверхности 196π см². Найдите положительный диаметр.
10. Диаметр вырос с 8 до 12 см. Во сколько раз изменилась площадь?
11. Диаметр равен 0,06 м. Найдите площадь в м² и затем в см².

Таблица самопроверки

Разбор трёх характерных ошибок

Ошибка 1. Вместо площади записали 4πd². Но «четыре» уже учтено в переходе от радиуса к диаметру: 4π(d/2)² = πd². Ошибка 2. При переводе площади из м² в см² умножили на 100. Нужно умножить на 10 000, потому что 1 м² = 100² см². Ошибка 3. Из равенства d² = 196 записали два диаметра ±14. Корни уравнения формально равны −14 и 14, но геометрический диаметр должен быть строго положительным, значит d = 14 см.

Самопроверка: у всех результатов площади показатель единицы равен 2; диаметр не может быть отрицательным; при увеличении d площадь не убывает.

Почему ответ остаётся точным с числом π

При вычислении площади поверхности шара не нужно каждый раз заменять число π десятичной дробью. Например, для диаметра 7 м запись 49π м² является точным ответом, а при π≈3,14 получается только приближение 153,86 м². Если сравниваются две поверхности, одинаковый множитель π можно сократить: сравнение не зависит от того, как сильно округлено значение π. Для диаметров с десятичными дробями полезно вначале возвести в квадрат всю дробь, а не только целую часть.

Ответы на стартовую диагностику

1. Верна формула πd²: 2πd — размерность длины, а πd³ — кубической величины. Площадь измеряется квадратными единицами.
2. Нет, площадь увеличивается в четыре раза: (2d)²/d²=4. Удвоение длины и удвоение площади — не одно и то же.
3. Радиус 9 мм; площадь измеряется в мм². При желании её можно вычислить: S=π·18²=324π мм².

Для работы в парах можно сначала закрыть таблицу самопроверки, решить подряд задачи 1–8 и только потом сверить ответы. Задания 9–11 оставьте как обратную и прикладные проверки. Измерения в разных единицах не следует смешивать внутри одного выражения: если диаметр взят в метрах, площадь сначала получается в квадратных метрах.