Площадь сферического сегмента в базовой модели — рабочий лист для 11 класса

В этой работе сферический сегмент в базовой модели — сферическая шапка: часть сферической поверхности, отсекаемая одной плоскостью. Считается только изогнутая поверхность без круглого основания. Для радиуса сферы R и высоты шапки h справедлива формула A = 2πRh, где R > 0 и 0 ≤ h ≤ 2R. Если речь идёт о полной поверхности твёрдого сегмента с плоским основанием, к этой площади пришлось бы добавить площадь круга; здесь этого не требуется.

При h = R получаем полусферу: её изогнутая площадь равна 2πR²; при h = 2R формула даёт 4πR² — площадь всей сферы. Шапка с h > R допустима: это больше половины сферы. Все размеры в одной единице длины.

Рабочий лист — вариант А

1. R = 5 см, h = 2 см. Найдите A.
2. R = 7 дм, h = 3 дм. Определите площадь изогнутой поверхности.
3. R = 4 м, h = 4 м. Какую часть площади сферы занимает эта поверхность?
4. R = 6 см, h = 12 см. Найдите площадь и назовите предельный случай.
5. R = 9 см, h = 1 см. Рассчитайте A.
6. R = 8 мм, A = 80π мм². Найдите h и проверьте ограничение h ≤ 2R.
7. У сферы R = 5 см. Возможна ли шапка с h = 12 см? Объясните.
8. R = 10 см; две шапки имеют высоты 3 см и 17 см. Найдите сумму их изогнутых площадей.

Место для записи решения: формула __________; подстановка __________; ответ с единицей __________.

Рабочий лист — вариант Б

9. R = 12 см, h = 5 см. Найдите A.
10. R = 3 дм, h = 0,5 дм. Найдите площадь.
11. R = 11 см, h = 11 см. Сравните результат с площадью всей сферы.
12. R = 15 мм, h = 25 мм. Проверьте допустимость и вычислите A.
13. R = 4 см, A = 24π см². Найдите h и укажите, меньше ли это полусферы.
14. R = 2 м; шапка имеет высоту 0. Найдите A и объясните смысл.
15. Две шапки одной сферы R = 6 см имеют высоты 2 см и 4 см. Во сколько раз больше площадь второй?
16. У сферы R = 13 см высота шапки 9 см. Какой высоты будет дополнительная шапка с другой стороны той же секущей плоскости? Найдите обе площади.

Проверка перед сдачей: указаны единицы, найденные высоты удовлетворяют 0 ≤ h ≤ 2R, площадь не превышает 4πR².

Ключ учителя: вариант А

1. A = 2π·5·2 = 20π см².
2. A = 2π·7·3 = 42π дм².
3. A = 2π·4·4 = 32π м²; это половина от 4π·16 = 64π м².
4. A = 2π·6·12 = 144π см²; h = 2R, вся сфера.
5. A = 2π·9·1 = 18π см².
6. 80π = 2π·8·h, поэтому h = 5 мм; 5 ≤ 16, ответ допустим.
7. Нет: h ≤ 10 см, а дано 12 см. Геометрически шапка такой высоты на сфере радиуса 5 см невозможна.
8. 2π·10·3 + 2π·10·17 = 400π см²; это полная площадь сферы радиуса 10 см.

Ключ учителя: вариант Б

9. A = 2π·12·5 = 120π см².
10. A = 2π·3·0,5 = 3π дм².
11. A = 2π·11·11 = 242π см² — половина площади сферы 484π см².
12. 25 ≤ 30, высота допустима; A = 2π·15·25 = 750π мм².
13. h = 24π/(2π·4) = 3 см; 3 < R = 4, шапка меньше полусферы.
14. A = 0 м² — шапка вырождается в точку (предельный случай).
15. Отношение площадей = 4/2 = 2 при одинаковом R.
16. Дополнительная высота равна 2R − 9 = 17 см; площади 2π·13·9 = 234π см² и 2π·13·17 = 442π см². Их сумма 676π см² = 4π·13².

Критерии оценки

На каждый из восьми пунктов варианта — по 2 балла: 1 балл за правильную формулу и проверку геометрической допустимости, 1 балл за число и единицу. В заданиях на сравнение второй балл присуждается за явное пояснение. Итого 16 баллов: 14–16 — отлично, 11–13 — хорошо, 8–10 — требуется повторение формулы, меньше 8 — разберите модель и решите вариант повторно.

Как читать высоту сферической шапки

Высота h — расстояние между секущей плоскостью и наиболее удалённой от неё точкой сферы вдоль оси, перпендикулярной плоскости. Это не радиус круга сечения и не длина дуги. На рисунке шапка может казаться маленькой из-за масштаба; вычисление определяется только R и h. Сегмент с h = R занимает полусферу, но шапка с h = 1,5R охватывает больше половины всей поверхности.

Обратный ход особенно важен: когда площадь A известна, высота находится делением h = A/(2πR). Полученное значение следует проверить в условии 0 ≤ h ≤ 2R. Так вы отсекаете формально найденные, но геометрически невозможные ответы. Если данные даны в разных единицах, сперва приведите R и h к одной: например, 50 мм = 5 см. И только после этого вычисляйте площадь.

Задание 8 варианта А показывает контроль через целую сферу: две дополняющие друг друга шапки имеют высоты, сумма которых равна диаметру 2R. Поэтому сумма их изогнутых площадей всегда равна площади полной сферы. В задании 16 варианта Б тот же факт используется в обратную сторону — сначала определяется неизвестная высота, затем площади обеих частей. Такой способ позволяет проверить решение без десятичных вычислений.