Площадь поверхности составного тела из цилиндра и полушара — практикум с ответами для 11 класса

Представьте сосуд в виде цилиндра, сверху закрытого полушаром того же радиуса. Полушар прикреплено к верхнему круглому торцу без щели, снизу у цилиндра есть плоское дно. Нужно найти площадь только внешней видимой поверхности. Общий круг стыка двух тел находится внутри, поэтому в ответ его включать нельзя.

Как собрать площадь из трёх слагаемых

1. Боковая поверхность цилиндра: 2πrh.
2. Изогнутая поверхность полушара: 2πr².
3. Нижнее круглое дно цилиндра: πr². Верхний круг цилиндра скрыт соединением.

Итого A = 2πrh + 3πr², где r — общий радиус цилиндра и полушара, h — высота только цилиндрической части. В полной высоте конструкции присутствует ещё радиус полушара: H = h + r. Все линейные размеры предварительно выражают в одних единицах.

Три разобранных примера

Пример 1. Целые сантиметры

При r = 2 см и h = 6 см боковая площадь равна 24π см², площадь кривой поверхности купола — 8π см², а площадь дна — 4π см². Сумма 36π см². Ошибкой было бы добавить ещё площадь общего круга сверху цилиндра: он не наружный.

Пример 2. Диаметр вместо радиуса

У конструкции диаметр 6 дм и высота цилиндра 4 дм, значит r = 3 дм. Вычисляем A = 2π·3·4 + 3π·9 = 24π + 27π = 51π дм². Полная высота фигуры 7 дм, но подставлять 7 вместо h нельзя: купол уже учтён отдельно.

Пример 3. Дробные параметры

Для r = 1,5 м и h = 2 м получаем 2π·1,5·2 = 6π м² и 3π·(1,5)² = 6,75π м². Ответ: 12,75π м². Это можно округлить до 40,04 м² при π ≈ 3,14, сохраняя исходное точное значение.

Практикум — вычислительные и обратные задания

1. Найдите A при r = 1 см и h = 5 см.
2. Вычислите A при r = 2 дм и h = 3 дм.
3. Для r = 4 м, h = 7 м найдите площадь наружной поверхности.
4. Диаметр конструкции 6 см, высота цилиндра 5 см. Найдите A.
5. Радиус 5 см, цилиндрическая высота 2 см. Вычислите A.
6. Радиус равен 0,5 м, высота цилиндра 1 м. Найдите точное значение A.
7. Найдите A при r = 3 см, h = 3 см.
8. Конструкция имеет r = 2 см и h = 9 см. Найдите A.
9. При r = 3 см внешняя площадь составляет 39π см². Определите высоту цилиндра h.
10. При r = 2 дм внешняя площадь составляет 36π дм². Найдите h.
11. Из конструкции с r = 2 см, h = 4 см убрали нижнее дно (остался открытый цилиндр снизу). Какова площадь оставшейся оболочки?
12. Те же размеры r = 2 см, h = 4 см. Найдите площадь с нижним дном; сравните с предыдущим ответом.
13. Сравните фигуры А (r = 4 см, h = 2 см) и Б (r = 2 см, h = 8 см): у какой больше внешняя площадь?
14. Во сколько раз площадь изогнутого полушарного купола больше площади нижнего круглого дна при одном радиусе?
15. Для r = 6 мм и h = 10 мм вычислите A; затем определите общую высоту H.

Ответы с проверкой каждого слагаемого

1. 2π·1·5 + 3π·1² = 10π + 3π = 13π см².
2. 2π·2·3 + 3π·4 = 12π + 12π = 24π дм².
3. 2π·4·7 + 3π·16 = 56π + 48π = 104π м².
4. d = 6, значит r = 3 см: 2π·3·5 + 3π·9 = 30π + 27π = 57π см².
5. 2π·5·2 + 3π·25 = 20π + 75π = 95π см².
6. 2π·0,5·1 + 3π·(0,5)² = 1π + 0,75π = 1,75π м².
7. 2π·3·3 + 3π·9 = 18π + 27π = 45π см².
8. 2π·2·9 + 3π·4 = 36π + 12π = 48π см².
9. 39π = 6πh + 27π; 6h = 12, поэтому h = 2 см. Подстановка: 12π + 27π = 39π.
10. 36π = 4πh + 12π; 4h = 24, значит h = 6 дм. Проверка даёт 24π + 12π.
11. Без дна: 2πrh + 2πr² = 16π + 8π = 24π см². Отверстие внизу не покрывается материалом.
12. С нижним дном: 16π + 8π + 4π = 28π см²; на 4π см² больше, чем без дна.
13. У А: 2π·4·2 + 3π·16 = 64π см²; у Б: 2π·2·8 + 3π·4 = 44π см². Больше у А на 20π см².
14. 2πr² / (πr²) = 2 для любого r > 0; это отношение площадей, не сантиметры.
15. 2π·6·10 + 3π·36 = 120π + 108π = 228π мм²; H = h+r = 16 мм.

Проверка смысловых ошибок

Если в вашей записи появились сразу два круга в местах стыка полушара и цилиндра, вы посчитали внутреннюю поверхность. Если неизвестна нижняя конструкция, необходимо оговорить, присутствует ли дно: результаты различаются на πr². Наконец, при исходных данных в миллиметрах ответ площади должен быть в мм², а при переводе в см² числовое значение делят на 100. У каждой задачи выше подразумевается положительный радиус и неотрицательная высота цилиндра.

Памятка для проверки: в закрытой снизу конфигурации всегда A = 2πrh + 3πr², а не сумма полных поверхностей исходных тел. Для другой схемы соединения сперва перечислите, какие участки действительно снаружи.

Почему нельзя складывать площади двух целых тел

Если бы цилиндр и полушар лежали отдельно на столе, можно было бы считать их полные поверхности порознь. После соединения одинаковые круглые основания соприкасаются и перестают быть наружными. Для данной конструкции внешний слой состоит только из стенки цилиндра, сферического купола и нижнего дна. Внутренние круги стыка в смете поверхности не участвуют. Именно поэтому при одинаковых r и h получается 2πrh+3πr², а не выражение с четырьмя или пятью квадратами радиуса.

Проверка через простые предельные модели

Представим, что высоту цилиндра постепенно уменьшают, сохраняя радиус. Тогда слагаемое 2πrh стремится к нулю; остаются криволинейное полушарие 2πr² и нижний диск πr². Такая проверка помогает увидеть, откуда появилась тройка в формуле. Если же увеличивать только h, радиусная часть 3πr² остаётся неизменной, а стенка растёт пропорционально высоте. Этот вывод можно использовать и для проверки заданий на разность площадей.

Не спутайте боковую поверхность купола и плоский круг: у них разные площади — 2πr² и πr². Круг является частью наружной поверхности лишь на нижней стороне конструкции. Для открытого снизу изделия этот круг удаляют, но купол остаётся. А при соединении неравных радиусов потребовалось бы совершенно иное описание контакта: данная формула относится только к совпадающим кругам сопряжения.

Как оформить решение для проверки

Запишите краткое условие с r и h и их единицами; нарисуйте словесную схему из трёх частей; вычислите каждое слагаемое отдельно; сложите коэффициенты при π. При обратном расчёте h после деления проверьте неотрицательность высоты и повторно подставьте результат. Отдельная оценка качества — объяснить, какие именно границы невидимы и почему их площадь исключена. Такой ответ показывает понимание геометрии, а не только запоминание формулы.