Изменение площади поверхности шара при увеличении радиуса: пошаговые задания для 11 класса

Главный объект здесь — изменение площади сферы, когда её радиус увеличивают, а не вычисление площади для одного размера. Формула S = 4πr² даёт S_нов/S_стар = (r_нов/r_стар)². Если радиус увеличился в k раз, площадь выросла в k² раза. Если радиус вырос на p%, множитель площади равен (1+p/100)². Процент роста площади — ((1+p/100)²−1)·100%.

Пограничные случаи и способы самоконтроля

Радиус — положительная длина; увеличение означает r_нов > r_стар. При r_нов = r_стар роста нет. «Площадь стала в четыре раза больше» и «площадь увеличилась на 400%» — разные фразы: первое даёт множитель 4, второе — множитель 5. У абсолютной прибавки площади есть квадратные единицы, у отношения и процентов их нет.

Уровень I. Найдите коэффициент изменения и процент

1. Радиус увеличен с 2 до 4 см: во сколько раз изменилась площадь?
2. Радиус увеличен с 3 до 9 мм: во сколько раз изменилась площадь?
3. Радиус вырос с 10 до 15 дм: найдите отношение новых и старых площадей.
4. Радиус вырос с 1 до 2,5 м. Во сколько раз выросла площадь?
5. Радиус увеличился на 10%. Определите рост площади в процентах.
6. Радиус увеличился на 20%. Найдите процент увеличения площади.
7. Радиус вырос с 4 до 6 см. На сколько процентов выросла площадь?
8. Радиус увеличился с 7 до 14 см. На сколько процентов возросла площадь?

Уровень II. Изменение реальной площади

9. Старая площадь 16π см², радиус вырос с 2 до 3 см. Найдите новую площадь и прирост.
10. Старая площадь 49π дм², радиус удвоили. Какова новая площадь и прибавка?
11. Площадь была 120π м², радиус увеличили вдвое. Чему равна новая площадь?
12. Площадь составляла 72π см², радиус увеличили на 50%. Какова новая площадь?
13. Площадь стала на 69% больше. На сколько процентов вырос радиус?
14. Площадь стала на 44% больше. Найдите процент изменения радиуса.
15. Радиус увеличили с 3 до 5 см. Найдите точную прибавку площади.
16. Радиус увеличили с 5 до 7 мм. Вычислите разность площадей.

Уровень III. Обратные задачи и проверка единиц

17. Радиус вырос с 2 до 3 см. На сколько квадратных сантиметров (через π) увеличилась площадь?
18. Радиус вырос с 5 до 7 см. Найдите прирост через π.
19. Площадь стала в 9 раз больше. Во сколько раз вырос радиус?
20. Новая площадь равна 25/16 старой. Во сколько раз вырос радиус?
21. Во сколько раз должен вырасти радиус, чтобы площадь удвоилась? Дайте точный ответ.
22. Во сколько раз надо увеличить радиус, чтобы площадь утроилась?
23. Радиус изменили с 0,2 до 0,3 м. Найдите прирост площади в м² и в см².
24. Радиус вырос на 5%. Каков точный процент роста площади?

Ключ: уровень I

1. (4/2)² = 4 раза; рост 300%.
2. (9/3)² = 9 раз; рост 800%.
3. (15/10)² = 9/4 = 2,25 раза; рост 125%.
4. (2,5/1)² = 6,25 раза; рост 525%.
5. 1,1² = 1,21: рост 21%, не 10%.
6. 1,2² = 1,44: рост 44%.
7. (6/4)² = 2,25: рост 125%.
8. (14/7)² = 4: рост 300%.

Ключ: уровень II

9. Новая площадь 4π·3² = 36π см²; прирост 36π−16π = 20π см².
10. При удвоении радиуса площадь возрастает вчетверо: новая 196π дм², прирост 147π дм².
11. 120π·4 = 480π м²; радиус увеличен в 2 раза.
12. Множитель 1,5² = 2,25; 72π·2,25 = 162π см².
13. Отношение площадей 1,69, значит положительное отношение радиусов √1,69 = 1,3: рост 30%.
14. √1,44 = 1,2: радиус увеличился на 20%.
15. 4π(5²−3²) = 4π·16 = 64π см².
16. 4π(7²−5²) = 4π·24 = 96π мм².

Ключ: уровень III

17. 4π(3²−2²) = 20π см².
18. 4π(7²−5²) = 96π см².
19. Из k²=9 и k>1 следует k=3 (отрицательный коэффициент радиуса не допускается).
20. Из k²=25/16 и k>0 получаем k=5/4.
21. Из k²=2 следует k=√2 ≈ 1,414; диаметр изменится с тем же коэффициентом.
22. Из k²=3 получаем k=√3 ≈ 1,732.
23. 4π(0,3²−0,2²)=0,2π м² = 2000π см², так как 1 м²=10 000 см².
24. 1,05²−1 = 0,1025: рост 10,25%.

Выборочное сравнение методов: для пункта 15 можно отдельно вычислить S(3)=36π и S(5)=100π и затем вычесть, а можно сразу использовать разность квадратов: 4π(5−3)(5+3)=64π. Второй путь сокращает расчёт. Проверка любой процентной задачи: прибавка площади должна быть положительна при увеличении радиуса, а процент площади — больше процента увеличения радиуса.

Сравнение трёх методов решения

Метод отношений удобен при известном коэффициенте увеличения радиуса: вычисляется только k², а исходные размеры не нужны. Метод процентов удобен, когда в условии дан относительный рост p%: сначала составляют 1+p/100, затем возводят в квадрат. Метод разности квадратов лучше для точной прибавки площади: ΔS=4π(r₂²−r₁²)=4π(r₂−r₁)(r₂+r₁). Эти методы дают согласованные результаты, но отвечают на разные вопросы — отношение, процент или площадь в единицах измерения.

Например, если исходный радиус 8 см, а новый 10 см, коэффициент равен 10/8=1,25. Площадь стала в (1,25)²=1,5625 раза больше, то есть прибавила 56,25%. Для точного изменения площади подставим в формулу: 4π(100−64)=144π см². Эти два ответа нельзя подменять друг другом: 56,25% — безразмерная доля, 144π см² — абсолютное изменение конкретного шара.

Типичные ошибки, которые стоит исключить

1. Увеличение радиуса на 30% не означает увеличение поверхности на 30%: квадрат 1,3² равен 1,69.
2. При обратных задачах из уравнения k² = 9 оставляют только k = 3, поскольку отношение положительных радиусов не может быть отрицательным.
3. Нельзя утверждать, что прибавка площади при увеличении радиуса на 1 см одинакова для маленького и большого шара. Формула ΔS=4π(2r+1) показывает зависимость от исходного радиуса r.
4. При сравнении квадратных метров и квадратных сантиметров множитель равен 10 000, а не 100.
5. Изменение на 200% означает, что площадь стала в три раза больше, а не в два раза.

Дополнительная проверка для преподавателя: попросите сначала оценить знак изменения и только после этого считать. При положительном росте радиуса ответ о приросте площади должен быть строго положительным. Если изменили масштаб всех размеров, одинаковый процент относится и к диаметру, и к радиусу, но к площади он относится уже после возведения коэффициента в квадрат. При измерениях реального объекта погрешность диаметра также отражается на площади нелинейно.