Сравнение площади поверхности двух подобных конусов — задания на закрепление, 11 класс

У подобных прямых круговых конусов соответствующие радиусы оснований, высоты и образующие имеют один и тот же положительный коэффициент подобия k. Тогда любая соответствующая площадь — боковая или полная — изменяется в k² раза. Важно сравнивать одноимённые поверхности: боковую с боковой, полную с полной. Если увеличен только один размер, а второй оставлен прежним, конусы обычно уже не подобны.

Шесть неверных рассуждений: найдите и исправьте

1. «Радиусы подобных конусов относятся как 1:2, значит площади относятся как 1:2».
2. «Высоты равны 6 и 9 см, поэтому отношение площадей равно 6:9».
3. «У одного конуса высота увеличилась вдвое, радиус сохранился — площадь выросла вчетверо по подобию».
4. «Площади относятся как 1:16; значит линейные размеры второго конуса больше в 16 раз».
5. «Боковую площадь малого конуса можно напрямую сравнить с полной площадью большого по k²».
6. «Если масштабный коэффициент от первого конуса ко второму равен 1/2, то площадь второго составляет половину площади первого».

Разбор ошибок по пунктам

1. Площадь зависит от квадрата размера: при переходе от меньшего к большему k = 2, S₂/S₁ = 4; отношение S₁:S₂ равно 1:4.
2. При k=9/6=3/2 соответствующая площадь второго больше в 9/4 раза. Само отношение высот 2:3 нельзя переносить на площади.
3. Две фигуры с одинаковым радиусом и различной высотой не могут быть подобными при k=2. Нужна формула площади и образующей; правило k² здесь неприменимо.
4. Если S₂/S₁ = 16, то k = √16 = 4. Если первым записан большой конус, порядок отношения следует поменять.
5. У полного конуса есть площадь основания πr², а у боковой — нет. Для таких разных величин сравнение по k² без приведения к одному типу поверхности неправомерно.
6. При k=1/2 имеем S₂/S₁=(1/2)²=1/4; площадь второго в четыре раза меньше.

Самостоятельные задания

7. Радиусы двух подобных конусов равны 2 и 5 см. Как относятся площади их полных поверхностей (первого ко второму)?
8. Высоты подобных конусов составляют 4 и 12 дм. Во сколько раз площадь второго больше?
9. Образующие подобных конусов равны 6 и 9 см. Найдите отношение площадей второго и первого.
10. Полная площадь малого конуса 40π см²; все размеры большого втрое больше. Найдите его полную площадь.
11. Площадь исходного конуса 225π мм²; все размеры нового составляют 2/3 исходных. Найдите новую площадь.
12. Отношение площадей второго конуса к первому равно 81/16. Чему равно отношение их радиусов?
13. Площадь первого 18 см², площадь второго 72 см²; радиус первого 5 см. Найдите радиус второго.
14. Боковая площадь 24π дм², каждый линейный размер нового конуса вдвое меньше. Какова боковая площадь нового?
15. Объёмы подобных конусов относятся как 1:27. Как относятся их полные площади (первого ко второму)?
16. У первого конуса r = 4, h = 6, у второго r = 6, h = 9. Подобны ли они, и каково отношение площадей второго к первому?
17. Радиусы подобных конусов относятся как 5:4, площадь первого 100 см². Найдите площадь второго.
18. У двух прямых конусов (r,h) равны (3,4) и (6,7). Можно ли применить правило квадратов подобия? Объясните.

Проверочные решения

7. При k = 5/2 отношение площадей первого ко второму (2/5)² = 4:25.
8. k = 12/4 = 3, поэтому S₂/S₁ = 9.
9. k = 9/6 = 3/2, S₂/S₁ = 9/4.
10. 40π·3² = 360π см².
11. 225π·(2/3)² = 225π·4/9 = 100π мм².
12. Положительный коэффициент подобия √(81/16) = 9/4, поэтому r₂:r₁ = 9:4.
13. Из 72/18 = 4 получаем k=2 и r₂ = 2·5 = 10 см.
14. 24π·(1/2)² = 6π дм².
15. Объём зависит от k³; k³=27, значит k=3, S₂/S₁=9. Искомое отношение площадей первого ко второму 1:9.
16. 6/4 = 9/6 = 3/2, конусы подобны с k=3/2; S₂/S₁ = 9/4.
17. k = 4/5; S₂ = 100·(4/5)² = 64 см².
18. Радиусы относятся как 2, высоты — как 7/4; коэффициенты различны, конусы не подобны. Закон k² неприменим.

Контроль качества объяснений

Сначала установите подобие: достаточно убедиться в равенстве отношений соответствующих размеров прямых круговых конусов (радиусов и высот). Затем выберите направление отношения и только после этого возведите коэффициент в квадрат. Если спрашивается полная площадь, она состоит из боковой площади πrl и площади основания πr², где l = √(r²+h²). Эти слагаемые масштабируются одинаково именно при подобии. Если единицы площади неодинаковы, приведите их к одной: 1 дм² = 100 см².

Два способа убедиться в законе площадей

Первый способ опирается на подобие: если увеличить каждый линейный размер конуса в k раз, его поверхность растянется в двух независимых направлениях, поэтому площадь умножится на k². Второй способ использует формулы. Боковая площадь A_бок=πrl; после масштабирования она станет π(kr)(kl)=k²πrl. Полная площадь A_полн=πrl+πr² преобразуется в π(kr)(kl)+π(kr)²=k²(πrl+πr²). Оба подхода подтверждают одно и то же правило.

На практике задачу о двух подобных конусах можно решить, даже не зная их образующих. Достаточно одного отношения соответствующих линейных размеров. Но перед использованием закона обязательно прочитайте, является ли это соотношение коэффициентом подобия или просто отношением несоответствующих параметров. Радиус одного конуса и высота другого сами по себе не задают масштаб.

Обратная проверка по площади

Если известно, что площадь поверхности второго конуса составляет 225% площади первого, то коэффициент площадей равен 2,25, а линейный коэффициент — √2,25=1,5. Это значит, что высоты и радиусы второго конуса должны быть на 50% больше. Если в условии одновременно указаны противоречащие этому числовые размеры, фигуры не могут быть подобными в заявленной модели; следует не подгонять ответ, а отметить противоречие.