Расход материала на изготовление открытого цилиндрического бака — рабочий лист для 11 класса

Задача: изготовить вертикальный круглый бак без крышки из тонкого листового материала. Бак имеет цилиндрические стенки и одно плоское дно; верх остаётся открытым. Швы, нахлёсты, вырезы и толщина металла пока не учитываются, если не сказано иное. Искомая площадь листа — A = 2πrh + πr² (боковая стенка плюс единственное дно). Формула 2πrh + 2πr² описывала бы закрытый бак и здесь давала бы лишний круг.

Исходные данные реальных расчётных моделей

Для перевода объёма используйте V = πr²h и 1 м³ = 1000 л. Объём — не расход материала: у объёма кубические единицы, а у площади квадратные. Приближение π ≈ 3,14 выполняйте только после составления точного выражения. При продаже цельных листов округляйте число листов вверх до целого.

Производственный расчёт: три связанных шага

Шаг 1. Без отходов

Для модели А площадь стенки 2π·1·3 = 6π м². Дно добавляет π·1² = π м². Всего A = 7π м² ≈ 21,98 м². В изделии отсутствует верхняя круглая поверхность: она не должна входить в смету.

Шаг 2. Запас на производство

Если условно добавить 10% к чистой площади, получим A_зак = 1,10·7π = 7,7π м² ≈ 24,18 м². Это расчётная норма расхода, а не геометрическая площадь готового бака. Потери при раскрое в жизни зависят от формы листов и технологии.

Шаг 3. Покупка листов

Если один покупаемый лист даёт ровно 2 м² полезного материала и листы можно раскраивать без дополнительных ограничений, чистая потребность модели А — 7π/2 ≈ 10,99 листа. Покупают 11 листов. В реальном производстве размещение деталей на листах может потребовать большего числа.

Связанные задания с единицами и проверкой допущений

1. Найдите чистую площадь листа для модели А, оставив π в ответе.
2. Вычислите чистую площадь листа для модели Б через π.
3. Определите чистую площадь для модели В через π.
4. Рассчитайте площадь модели Г через π. Что изменится, если изготовить верхнюю крышку?
5. Для модели А добавьте условный запас 10% от чистой площади. Сколько м² нужно с учётом запаса (точно и при π≈3,14)?
6. Для модели А без запаса требуется купить листы по 2 м² полезного материала. Какое минимальное целое число листов получится при идеальном раскрое?
7. Если металл для модели А продаётся по 1500 тенге за 1 м² без запаса, найдите стоимость точно и при π≈3,14.
8. Для модели А найдите внутренний геометрический объём в м³ и литрах, пренебрегая толщиной стенок.
9. Бак без крышки имеет r = 1 м и чистую наружную площадь 9π м². Какова высота h?
10. Для модели Б найдите число листов по 0,5 м² полезной площади без запаса при π≈3,14; округлите вверх.
11. Для модели В заложите условные 5% запаса. Найдите точный расход и десятичное приближение м².
12. Для бака r = 0,5 м и h = 2 м сравните расход без крышки и с крышкой; найдите прибавку.
13. У модели Г увеличили высоту с 1 до 2 м при неизменном радиусе. На сколько увеличилась чистая площадь металла?
14. Бак имеет диаметр 180 см и высоту 2 м. Сколько м² листа понадобится без крышки? Проверьте перевод сантиметров в метры.

Ключ расчётов с пояснениями

1. 7π м²; это 6π м² боковой стенки и π м² дна. Важно: единица м².
2. 2π·0,5·1,2 + π·(0,5)² = 1,2π + 0,25π = 1,45π м².
3. 2π·1,2·2 + π·1,2² = 4,8π + 1,44π = 6,24π м².
4. 2π·2·1 + π·4 = 8π м²; с крышкой было бы 12π м² (добавляется πr² = 4π м²).
5. 7π·1,10 = 7,7π м² ≈ 24,178 м², то есть примерно 24,18 м² при π≈3,14.
6. 7π/2 ≈ 10,99; нужно 11 листов в модели идеального раскроя. Десять листов дают только 20 м², что меньше 21,98 м².
7. 1500·7π = 10 500π тенге ≈ 32 970 тенге. Стоимость не включает отходы и работу.
8. V = π·1²·3 = 3π м³ ≈ 9,42 м³ = 9420 л. При реальном заполнении до края и наличии деталей вместимость может отличаться.
9. 2π·1·h + π·1² = 9π; 2h+1 = 9, значит h = 4 м. Подстановка даёт 8π+π=9π м².
10. A = 1,45π ≈ 4,553 м²; 4,553/0,5 ≈ 9,106; 10 листов при заданных упрощениях.
11. 6,24π·1,05 = 6,552π м² ≈ 20,57328 м², или 20,57 м².
12. Без крышки 2π·0,5·2 + π·0,25 = 2,25π м²; с крышкой 2,5π м². Дополнительно 0,25π м².
13. Для r=2 м прибавка только по боковой стенке: 2πr·(2−1) = 4π м². Площадь дна неизменна.
14. Диаметр 180 см = 1,8 м, радиус 0,9 м. A = 2π·0,9·2 + π·0,9² = 3,6π + 0,81π = 4,41π м² ≈ 13,85 м² при π≈3,14.

Как проверить закупочный расчёт

Запишите отдельно геометрическую площадь, процентный запас, стоимость и округление количества листов: эти четыре ответа имеют разный смысл. Не смешивайте метры и сантиметры в одной формуле; 180 см = 1,8 м, но 180 см² = 0,018 м². Для положительных r и h геометрическая площадь всегда положительна. Если условие говорит «без крышки», никогда не добавляйте площадь второго круга. Если бак имеет горловину, опоры или толщину стенок, требуется отдельная конструктивная модель: приведённые расчёты относятся только к идеализированному цилиндру.

Общая проверка единиц: длины — м, площадь листа — м², объём — м³ или л, цена — тенге. Запас 5% и 10% задаётся именно от чистой площади; в реальном проекте технологическую норму нужно согласовывать отдельно.

Почему технологический запас не равен площади второй крышки

Запас задают коэффициентом, например 1,05 или 1,10, к уже найденной чистой площади. Его нельзя автоматически заменить произвольным дополнительным кругом: отходы связаны с раскроем, сваркой и дефектами листа, а геометрическая крышка — вполне определённая деталь площади πr². Если крышки по проекту нет, добавлять её в основу расчёта запрещено. Величину запаса указывают отдельно, чтобы заказчик видел, какая площадь действительно остаётся в изделии.

Например, при той же геометрии модели А чистая поверхность равна 7π м². С 5% запаса получилось бы 7,35π м², а с 10% — 7,7π м². Эти величины различаются только из-за производственного допущения, а не из-за изменений диаметра или высоты бака. При покупке целых листов окончательное число единиц считают после выбора нормы запаса, площади листа и условий раскладки деталей.

Проверка размерности и здравого смысла

Бак, у которого радиус уменьшен вдвое при прежней высоте, не будет потреблять вдвое меньше материала целиком: стенка уменьшается вдвое, а дно — вчетверо. Поэтому при изменении размеров нельзя просто умножать всю площадь на один коэффициент, если подобия нет. Для задачи о вместимости помните, что геометрический объём включает воздух до уровня верха: рабочий объём воды обычно ниже из-за запаса до кромки, и это нужно задавать отдельным условием.