Выбор числа с заданными признаками делимости для делителей 3 и 9 одновременно: задания с разбором, 5 класс

5 класс · делимость на 3 и 9 · карточка с доказательствами. Здесь недостаточно угадать подходящее число: к каждому выбору нужно назвать признак и объяснить, почему другие варианты не подходят. Удобно работать на черновике, а ответы открыть после выполнения заданий.

Можно ли делиться на 9 и не делиться на 3?

Иногда звучит такое утверждение: «Число делится на 9, но на 3 не делится, потому что девятка больше тройки». Оно неверно. Если натуральное число равно 9 · k, то его можно записать как 3 · (3 · k). Значит, каждое число, кратное 9, кратно и 3. Обратное неверно: 12 делится на 3, но не делится на 9.

Чтобы отобрать числа, не выполняя деление столбиком, сложите их цифры. Если сумма кратна 9, число делится одновременно на 9 и 3; если сумма кратна 3, но не кратна 9, число делится только на 3 из этих двух делителей. Если сумма не делится на 3, число не подходит ни по одному признаку.

Почему работает сумма цифр

Число 100a + 10b + c представим как 99a + 9b + (a + b + c). Первые два слагаемых кратны и 3, и 9, поэтому при проверке делимости существенна только сумма a + b + c. Та же идея верна для чисел с любым количеством цифр: 1000, 100, 10 при вычитании единицы дают числа, кратные 9. Это объясняет признак, а не просто предлагает его запомнить.

Разобранный выбор. Из чисел 342, 345 и 351 найдите делящиеся на 9. Суммы цифр: 9, 12, 9. Подходят 342 и 351. Число 345 кратно 3, но девятке не кратно. Формулировка «делится на 3 и 9» здесь требует выполнения двух условий; достаточно проверить более сильное — делимость на 9.

Как записывать доказательство, а не угадывать

Правильный ответ на задание выбора состоит из трёх частей. Сначала назовите выбранные числа. Затем покажите для каждого сумму его цифр и нужную кратность. Наконец, объясните, почему хотя бы один отвергнутый вариант не проходит проверку. Например, у числа 621 сумма 6 + 2 + 1 = 9, значит, оно кратно 9 и 3. У 623 сумма 11, следовательно, оно не делится ни на один из указанных делителей. А число 624 имеет сумму 12: оно делится на 3, но 9 не подходит. Такой способ не зависит от величины числа, потому что каждое добавленное слева десятичное место даёт добавку, кратную 9, при переходе от числа к сумме цифр.

Обратите внимание на логическое слово «одновременно». Это пересечение двух требований, а не предложение выбрать любой из двух признаков. Если же в условии стоит «на 3, но не на 9», множество ответов становится другим. При проверке полезно мысленно начертить три столбца: «кратные 9», «кратные 3, но не 9», «прочие». Каждый вариант попадает ровно в один столбец, и пропущенное число сразу становится заметнее.

Карточка: обоснуй каждый выбор

1. Из чисел 432, 435, 441, 446, 459 выпишите те, которые одновременно делятся на 3 и на 9. Для каждого выписанного числа укажите сумму цифр.
2. Выберите все числа, которые делятся на 3, но не делятся на 9: 273, 315, 642, 738, 951. Объясните, почему 315 — ловушка.
3. Школьник говорит: «Если число оканчивается нулём, оно обязательно делится на 9». Проверьте это на 540, 550, 720. Верно ли утверждение?
4. Распределите 444, 450, 459, 462 по двум группам: «делится на 9» и «делится на 3, но не на 9». Не используйте деление столбиком.
5. Среди 333, 342, 351, 360 назовите наименьшее трёхзначное число, удовлетворяющее обоим признакам. Почему сравнение сумм цифр не помогает выбрать наименьшее?
6. Укажите единственное число из 525, 522, 529, 534, которое не делится на 3. Докажите, что остальные делятся на 3; отметьте, какие из них делятся и на 9.
7. Для 7101, 7104, 7105, 7110 заполните мысленно три категории: «на 9», «только на 3», «ни на 3, ни на 9».
8. Для 927, 930, 934 найдите по одному числу каждой категории из предыдущего задания. Поясните, как можно получить ответ без остатка.
9. Выпишите все числа от 100 до 110 включительно, которые делятся на 3. Какие из них одновременно делятся на 9? Дайте объяснение полноты списка.
10. Можно ли утверждать, что приписывание нуля справа к числу 54 не меняет делимость на 3 и 9? Проверьте числа 54, 540 и 5400; затем объясните общий случай через сумму цифр.
11. Из перестановок цифр 3, 0, 6 составьте все трёхзначные числа без повторений. Какие делятся сразу на 3 и 9? Почему двузначную запись 036 нельзя включать?
12. Проверьте «особые» числа 0, 9999 и 9998: делятся ли они на 3 и 9? Поясните отдельно случай числа 0.

Проверка особых случаев

Ноль является кратным любого ненулевого целого числа: 0 = 3 · 0 = 9 · 0. Поэтому он делится и на 3, и на 9 без остатка. В записи числа ведущий ноль не увеличивает количество разрядов: «036» — это число 36, а не трёхзначное число. Многозначные числа проверяются так же, как трёхзначные: длина записи правила не меняет. Важно различать вопрос «делится на 3» и более строгий вопрос «делится на 3, но не на 9».

Решения и ключ для самопроверки

1. 432, 441, 459. Суммы цифр соответственно 9, 9, 18 — кратны 9; у 435 сумма 12, у 446 — 14.
2. 273, 642, 951. Суммы равны 12, 12, 15: все кратны 3, но не 9. У 315 сумма 9, поэтому оно делится на оба делителя; у 738 сумма 18 — тоже.
3. Утверждение неверно. 540: сумма 9, делится на оба. 550: сумма 10, не делится ни на 3, ни на 9. 720: сумма 9, делится на оба. Последняя цифра тут не решает вопрос.
4. На 9: 450 (сумма 9), 459 (18). На 3, но не на 9: 444 (12), 462 (12).
5. 333. Все четыре числа имеют сумму цифр 9, так что все отвечают обоим признакам. Для поиска наименьшего нужно сравнивать сами числа, а не равные суммы.
6. 529 не делится на 3 (сумма 16). У 525 и 534 сумма 12 — они делятся на 3, но не на 9. У 522 сумма 9 — делится и на 3, и на 9.
7. На 9: 7101, 7110 (сумма 9). Только на 3: 7104 (12). Ни на один: 7105 (13).
8. На 9: 927 (сумма 18); только на 3: 930 (12); ни на один: 934 (16).
9. На 3: 102, 105, 108. Только 108 делится ещё и на 9. Полноту подтверждает шаг 3 между соседними кратными: до 102 лежит 99, после 108 — 111, оба за пределами.
10. Все три числа делятся на 3 и 9. Их сумма цифр равна 9. Приписанный ноль ничего не добавляет к сумме, значит, признаки сохраняются.
11. 306, 360, 603, 630. В каждой правильной перестановке сумма цифр равна 9. Записи, начинающиеся с 0, не являются трёхзначными.
12. 0 и 9999 делятся на 3 и 9 (суммы 0 и 36); 9998 не делится ни на 3, ни на 9 (сумма 35). Нулевой остаток при делении нуля допустим.

Вывод. Для одновременной делимости на 3 и 9 достаточно делимости на 9. Но когда требуется «на 3 и не на 9», проверять нужно оба условия. Такой ответ — полноценное математическое обоснование выбора числа.