Расчёт границ округлённой величины для площади в квадратных сантиметрах и метрах — рабочий лист для 5 класса

Как найти границы округления

Здесь используется привычное школьное округление: ровно половина шага округляется вверх. Если площадь A округлили до числа R с шагом q, то R − q/2 ≤ A < R + q/2. Нижняя граница включается, верхняя — нет. Например, результат «600 см² с точностью до 100 см²» означает от 550 см² включительно до 650 см² не включительно.

Для площадей, измеренных целым числом см², ответ имеет вид набора целых чисел. Для площади, допускающей дробные значения, пишем полуинтервал. Если исходное значение округляли в м², сначала вычислите границы в м², а уже потом при необходимости переведите обе границы в см².

Уровень I — определяем половину шага

В первых восьми упражнениях важно правильно определить точность записи. Для каждого пункта укажите, входит ли левая и правая граница в множество допустимых площадей.

1. № 1. Площадь округлили до 700 см² с шагом 100 см². Запишите интервал.
2. № 2. Округление до десятков дало 1360 см². Какие целые значения возможны?
3. № 3. Округление до сотен дало 2400 см². Найдите нижнюю и верхнюю границу.
4. № 4. В отчёте указано 0,8 м² до десятых м². Запишите границы в см².
5. № 5. После округления до сотых получилось 1,27 м². Возможно ли 1,275 м²?
6. № 6. Площадь округлили до десятков: 450 см². Проверьте 444, 445 и 454 см².
7. № 7. Точность результата 0,01 м², округлённая площадь 0,04 м². Назовите границы.
8. № 8. Результат 100 см² получен округлением до сотен. Может ли исходная площадь быть 49 см²?

Уровень II — перевод единиц и проверка числа

Здесь уже недостаточно просто написать два числа: учитывайте, что 1 м² — это 10 000 см², а для целых площадей верхняя допустимая величина на единицу меньше правой границы.

1. № 9. Запись 1,20 м² получена округлением до 0,01 м². Запишите границы в см².
2. № 10. Получено 25 700 см² при округлении до сотен. Переведите интервал в м².
3. № 11. Исходная площадь — целое число см². После округления до десятков получили 3650 см². Найдите минимум и максимум.
4. № 12. Округление до десятых дало 2,4 м². Можно ли получить такой результат из 2,449 м² и 2,450 м²?
5. № 13. После округления до сотен получилось 700 см². Какие граничные числа: 650, 749, 750 подходят?
6. № 14. Указано 1,00 м² до сотых. Выразите разброс площади в см².
7. № 15. Площадь — целое число см², округлённое до 820 см² с шагом 10. Сколько возможно исходных значений?
8. № 16. Число 0,5 м² записано с точностью до 0,1 м². Может ли площадь равняться 5499 см²?

Уровень III — несколько действий и сравнения

Рассматривайте округлённые результаты как интервалы. Если складываются независимые измерения, нижние границы складываются с нижними, а верхние — с верхними. Для разности верхнюю границу вычитаемого нужно сопоставить с нижней границей уменьшаемого.

1. № 17. Прямоугольник имеет точную длину 40 см. Его площадь округлили до сотен и получили 800 см². Найдите диапазон ширины.
2. № 18. Площадь коврика указана как 0,28 м² до сотых. Возможна ли площадь 2849 см²? А 2850 см²?
3. № 19. Четыре плитки измерили независимо. Площадь каждой округлили до сотен и получили 500 см². Найдите интервал общей площади.
4. № 20. Два участка имеют округлённые площади 1,3 м² и 0,8 м², оба значения до десятых. Между какими границами лежит сумма?
5. № 21. Две площади округлены до десятых: 1,8 м² и 0,7 м². Найдите возможные границы их разности (первая больше второй).
6. № 22. Площадь доски указана 0,32 м² после округления до сотых. Что больше: 3150 см², допустимый максимум или 3250 см²?
7. № 23. Результат 10 000 см² получен округлением до 1000 см². Найдите интервал в м²; проверьте 1,04 и 1,05 м².
8. № 24. Длина прямоугольника округлена до целого сантиметра и равна 20 см, ширина — 30 см. Найдите интервал истинной площади при положительных сторонах.

Ключ ответов: уровень I

1. № 1. 650 ≤ A < 750 см²: половина шага составляет 50 см².
2. № 2. От 1355 до 1364 см² включительно: 1365 уже округляется до 1370.
3. № 3. 2350 ≤ A < 2450 см².
4. № 4. 7500 ≤ A < 8500 см², поскольку 0,75 ≤ A < 0,85 м².
5. № 5. Нет. Допустимый интервал: 1,265 ≤ A < 1,275 м².
6. № 6. 444 — нельзя, 445 и 454 — можно; целый диапазон 445–454 см².
7. № 7. 0,035 ≤ A < 0,045 м², или 350 ≤ A < 450 см².
8. № 8. Нет: допустимо 50 ≤ A < 150 см²; 49 округляется до нуля.

Ключ ответов: уровень II

1. № 9. 11950 ≤ A < 12050 см².
2. № 10. 2,565 ≤ A < 2,575 м²: границы 25 650 и 25 750 см².
3. № 11. Минимум 3645 см², максимум 3654 см².
4. № 12. 2,449 м² — да; 2,450 м² — нет, его округлят до 2,5 м².
5. № 13. 650 и 749 подходят; 750 не подходит.
6. № 14. 9950 ≤ A < 10050 см². Нули после запятой показывают точность округления.
7. № 15. 10 значений: 815, 816, …, 824 см².
8. № 16. Да: диапазон 4500 ≤ A < 5500 см²; число 5499 лежит внутри.

Решения уровня III

1. № 17. 750 ≤ A < 850; делим на 40: 18,75 ≤ ширина < 21,25 см.
2. № 18. 2750 ≤ A < 2850 см²; 2849 возможно, 2850 невозможно.
3. № 19. Каждая в [450; 550), значит сумма в [1800; 2200) см².
4. № 20. 1,25+0,75 = 2,00 м²; верхняя сумма 1,35+0,85 = 2,20 м² недостижима. Итак 2,00 ≤ S < 2,20 м².
5. № 21. 1,75 ≤ A < 1,85 и 0,65 ≤ B < 0,75. Поэтому 1,00 < A−B < 1,20 м²: обе границы для разности строгие.
6. № 22. Нижняя граница 3150 см² включена; верхняя 3250 см² исключена. Максимума среди всех дробных площадей нет.
7. № 23. 9500 ≤ A < 10500 см², то есть 0,95 ≤ A < 1,05 м². 1,04 возможно, 1,05 — нет.
8. № 24. 19,5 ≤ a < 20,5 и 29,5 ≤ b < 30,5. Перемножаем положительные границы: 575,25 ≤ S < 625,25 см².

Разбор сложных случаев

Почему в № 21 обе границы разности строгие? При наименьшем A можно взять 1,75, но B не может стать ровно 0,75. Значит разность всегда больше 1,00. Аналогично A не достигает 1,85, поэтому разность не равна 1,20.

Почему в № 24 можно перемножить границы? Все длины положительные: при увеличении любой стороны площадь прямоугольника увеличивается. Нижние границы 19,5 и 29,5 достижимы одновременно, верхние 20,5 и 30,5 — не достигаются.

Обязательная самопроверка: проследите единицы измерения в № 4, 9, 10 и 23. Ошибка «умножить на 100» вместо «умножить на 10 000» меняет результат в сто раз. В № 2, 11 и 15 отдельно проверьте, что исходные площади заданы целыми числами см².

Дополнительные пояснения к измерениям и оценке погрешности

Интервал допустимых площадей не означает, что любая площадь физически возможна у конкретного предмета: его форма и размеры могут задавать дополнительные ограничения. Рабочий лист проверяет именно информацию, которую можно логически вывести из округлённого числа, не располагая другими измерениями. Если размеры измерены ещё и отдельно, как в № 24, число возможных площадей сужается новым условием.

В № 17 известна точная длина 40 см. Деление левой и правой границ площади на одно и то же положительное число сохраняет знак неравенства. Если бы известная длина сама была округлённой, делить на число 40 как на точное было бы неверно: понадобились бы нижняя и верхняя границы длины.

Сравним две похожие записи. Фраза «площадь равна 700 см²» без указания метода может обозначать точное значение. Фраза «площадь округлили до 700 см² с шагом 100 см²» обозначает целый диапазон. В условии каждого задания второе значение обязательно. Ноль после запятой тоже может быть существенным: 1,2 м² с точностью до десятых и 1,20 м² с точностью до сотых означают интервалы разной ширины.

Граница 1,275 м² в № 5 математически не входит в интервал результата 1,27 м²: ровно половину сотой округляют вверх и получают 1,28. Зато значение 1,265 лежит на левой границе и при том же правиле округляется к 1,27. Если применяется иная договорённость о половинных случаях, она должна быть прямо оговорена; здесь везде используется одно школьное правило.

У задач № 19 и 20 есть общее свойство: складываются площади разных объектов, поэтому суммируются и интервалы. При вычитании в № 21 порядок границ меняется. Неверный приём «вычесть нижнюю из нижней и верхнюю из верхней» дал бы красивый, но ложный единственный результат; он не учитывает независимые отклонения двух измерений.

Наконец, в работе с целыми квадратными сантиметрами полезно проверять последний возможный случай: 1364 в № 2 ещё округляется к 1360, а 1365 — уже к 1370. С непрерывными измерениями нет «последней дроби перед 1365», поэтому вместо максимума следует писать строгую верхнюю границу. Это разные ответы на разные предположения об исходных значениях.