Восстановление неизвестного множителя дроби в вычислении нескольких последовательных долей — рабочий лист для 6 класса

Рабочий лист для 6 класса. Цель — восстановить пропущенный множитель-долю, если величину последовательно уменьшали, беря долю от полученного количества. Здесь не складывают доли: каждую следующую долю находят от полученного на предыдущем шаге числа. В конце листа есть задания на поиск противоречивого ответа и полный ключ с обратной проверкой.

Схема и таблица последовательных долей

Пусть исходное число обозначено A. Сначала нашли долю a, затем неизвестную долю x, а от результата — долю b. Итак, A × a × x × b = R, где R — итог. Если A, a и b положительны, то x = R ÷ (A × a × b). Деление заменяют умножением на обратную дробь. Если по условию x — именно доля величины, а не произвольный множитель, дополнительно проверяют 0 < x ≤ 1.

Пример: от 96 страниц взяли 3/4, затем неизвестную долю, затем 2/3; осталось 24 страницы. Без неизвестного множителя получили бы 96 × 3/4 × 2/3 = 48 страниц. Значит, x = 24/48 = 1/2. Проверка в исходном порядке: 96 → 72 → 36 → 24. Это не то же самое, что взять от 96 сумму долей.

Часть 1. Восстановите неизвестную долю по итоговой величине

В каждом пункте сначала восстановите множитель x, затем подставьте его в исходную цепочку. Можно оставить дробь в несократимом виде; отдельное действие с неизвестной долей пропускать нельзя.

1. Изначально было 72 листов бумаги. Взяли 2/3 количества, затем долю x, а затем 1/2 получившегося. Итог — 18 листов бумаги. Найдите x и укажите промежуточный результат перед последней долей.
2. Изначально было 90 метров дорожки. Взяли 4/5 количества, затем долю x, а затем 3/4 получившегося. Итог — 36 метров дорожки. Найдите x и укажите промежуточный результат перед последней долей.
3. Изначально было 84 литров смеси. Взяли 5/7 количества, затем долю x, а затем 2/3 получившегося. Итог — 20 литров смеси. Найдите x и укажите промежуточный результат перед последней долей.
4. Изначально было 120 кг крупы. Взяли 3/5 количества, затем долю x, а затем 2/3 получившегося. Итог — 30 кг крупы. Найдите x и укажите промежуточный результат перед последней долей.
5. Изначально было 96 страниц книги. Взяли 7/8 количества, затем долю x, а затем 3/4 получившегося. Итог — 36 страниц книги. Найдите x и укажите промежуточный результат перед последней долей.
6. Изначально было 150 метров шнура. Взяли 2/5 количества, затем долю x, а затем 5/6 получившегося. Итог — 30 метров шнура. Найдите x и укажите промежуточный результат перед последней долей.
7. Изначально было 108 кг корма. Взяли 5/6 количества, затем долю x, а затем 3/5 получившегося. Итог — 12 кг корма. Найдите x и укажите промежуточный результат перед последней долей.
8. Изначально было 144 сантиметров ленты. Взяли 3/4 количества, затем долю x, а затем 2/7 получившегося. Итог — 18 сантиметров ленты. Найдите x и укажите промежуточный результат перед последней долей.
9. Изначально было 160 м ткани. Взяли 7/10 количества, затем долю x, а затем 3/8 получившегося. Итог — 30 м ткани. Найдите x и укажите промежуточный результат перед последней долей.
10. Изначально было 180 литров воды. Взяли 4/9 количества, затем долю x, а затем 5/6 получившегося. Итог — 25 литров воды. Найдите x и укажите промежуточный результат перед последней долей.

Часть 2. Не каждое значение подходит для доли

В следующих ситуациях x по смыслу должна быть положительной долей не больше единицы. Даны A, первая и последняя доли, а также заявленный итог. Решите уравнение и определите, возможно ли такое значение x. Если невозможно, объясните причину числом, а не ссылкой на «слишком большой ответ».

11. Исходно 64 кг, первая доля 3/4, последняя 1/2, итог 32 кг. Может ли неизвестный множитель x быть долей числа?
12. Исходно 90 кг, первая доля 2/3, последняя 3/5, итог 45 кг. Может ли неизвестный множитель x быть долей числа?
13. Исходно 120 кг, первая доля 5/6, последняя 1/2, итог 35 кг. Может ли неизвестный множитель x быть долей числа?

Часть 3. Найдите ошибку и докажите исправление

14. Найденная доля x = 2/5 при начале 100, первой доле 3/4 и последней доле 2/3. Ученик записал итог 30. Исправьте итог и подтвердите двумя промежуточными вычислениями.
15. Начало 72, первая доля 5/6, последняя доля 3/4, заявленный результат 27. В решении написано x = 3/5. Проверьте и исправьте.
16. В задаче старт 80, первая доля 1/2, последняя доля 4/5, итог 24. Ученик получил x = 4/3, потому что разделил 32 на 24. Исправьте рассуждение.

Наблюдение для проверки: когда каждую из трёх долей берут от предыдущего результата, умножение можно переставлять при подсчёте общей величины, но смысл шага «до неизвестной доли» и «после неизвестной доли» сохраняется. В пунктах 1–10 удобно сначала сгруппировать известные коэффициенты. В пунктах 11–13 единственный найденный x необходимо проверить на ограничение x ≤ 1. В пунктах 14–16 ищите не только ошибочный итог, но и тот шаг, на котором рассуждение перестало соответствовать условию.

Ключ ответов и решения

Задания 1–10

1. Перед x было 48, без x после последней доли получилось бы 24. Поэтому x = 18 ÷ 24 = 3/4. Перед последним действием было 36; проверка: 48 × 3/4 = 36, затем 36 × 1/2 = 18.
2. Перед x было 72, без x после последней доли получилось бы 54. Поэтому x = 36 ÷ 54 = 2/3. Перед последним действием было 48; проверка: 72 × 2/3 = 48, затем 48 × 3/4 = 36.
3. Перед x было 60, без x после последней доли получилось бы 40. Поэтому x = 20 ÷ 40 = 1/2. Перед последним действием было 30; проверка: 60 × 1/2 = 30, затем 30 × 2/3 = 20.
4. Перед x было 72, без x после последней доли получилось бы 48. Поэтому x = 30 ÷ 48 = 5/8. Перед последним действием было 45; проверка: 72 × 5/8 = 45, затем 45 × 2/3 = 30.
5. Перед x было 84, без x после последней доли получилось бы 63. Поэтому x = 36 ÷ 63 = 4/7. Перед последним действием было 48; проверка: 84 × 4/7 = 48, затем 48 × 3/4 = 36.
6. Перед x было 60, без x после последней доли получилось бы 50. Поэтому x = 30 ÷ 50 = 3/5. Перед последним действием было 36; проверка: 60 × 3/5 = 36, затем 36 × 5/6 = 30.
7. Перед x было 90, без x после последней доли получилось бы 54. Поэтому x = 12 ÷ 54 = 2/9. Перед последним действием было 20; проверка: 90 × 2/9 = 20, затем 20 × 3/5 = 12.
8. Перед x было 108, без x после последней доли получилось бы 30 6/7. Поэтому x = 18 ÷ 30 6/7 = 7/12. Перед последним действием было 63; проверка: 108 × 7/12 = 63, затем 63 × 2/7 = 18.
9. Перед x было 112, без x после последней доли получилось бы 42. Поэтому x = 30 ÷ 42 = 5/7. Перед последним действием было 80; проверка: 112 × 5/7 = 80, затем 80 × 3/8 = 30.
10. Перед x было 80, без x после последней доли получилось бы 66 2/3. Поэтому x = 25 ÷ 66 2/3 = 3/8. Перед последним действием было 30; проверка: 80 × 3/8 = 30, затем 30 × 5/6 = 25.

Задания 11–13: проверка допустимости

11. Максимальный итог при x ≤ 1 равен 24 кг. Из уравнения x = 32 ÷ 24 = 4/3. Нет: x > 1, а значит, необходимо увеличить промежуточное количество, что противоречит слову «доля».
12. Максимальный итог при x ≤ 1 равен 36 кг. Из уравнения x = 45 ÷ 36 = 5/4. Нет: x > 1, а значит, необходимо увеличить промежуточное количество, что противоречит слову «доля».
13. Максимальный итог при x ≤ 1 равен 50 кг. Из уравнения x = 35 ÷ 50 = 7/10. Да: 0 < x ≤ 1; проверка произведением подтверждает итог.

Задания 14–16: обратная проверка

14. 100 × 3/4 = 75, 75 × 2/5 = 30, 30 × 2/3 = 20. Число 30 — перед последним действием, а не финальный итог.
15. Без x: 72 × 5/6 × 3/4 = 45. Поэтому x = 27 ÷ 45 = 3/5; запись верна. По цепочке 72 → 60 → 36 → 27.
16. Без x итог 80 × 1/2 × 4/5 = 32. Следовательно, x = 24 ÷ 32 = 3/4; порядок деления в ошибочном решении перепутан.

После самопроверки попробуйте объяснить правило словами: «неизвестную долю получаем делением фактического итога на итог, который был бы при x = 1». Этот способ допустим только при ненулевых известных множителях. Если один известный множитель равен нулю, то делить на произведение нельзя; при нулевом результате неизвестный множитель не определяется единственным образом. В этой карточке все известные доли положительны.