Проверка деления дробей обратным умножением при требовании несократимого результата: рабочий лист для 6 класса

Исследовательский рабочий лист для 6 класса. Нужно установить, почему деление дробей проверяется обратным умножением и почему корректное значение частного не всегда записано в требуемой несократимой форме. Мы сравним верные и неверные доводы, проверим правило на контрпримерах и применим его к самостоятельным задачам.

Наблюдение: сокращение и проверка — разные операции

Возьмём (6/8) ÷ (9/12). Если сначала сократить дроби, получится (3/4) ÷ (3/4) = 1. Проверка: 1 × 9/12 = 6/8. Число 1 записано в несократимой форме. Если не сокращать исходные дроби, формула частного всё равно даст 72/72; это то же число, но требование о несократимой записи результата требует превратить 72/72 в 1.

Сформулируйте правило: чтобы проверить равенство a ÷ b = q при b ≠ 0, нужно умножить q на b и получить a. Если a и b — дроби, то в каждом произведении можно сократить общие множители числителя и знаменателя. Проверка значения и проверка несократимой формы независимы: например, 9/6 × 5/9 = 5/6 верно, но 9/6 сократима до 3/2.

Исследование 1. Где заканчивается вычисление и начинается проверка?

1. Разделите 3/4 на 3/4; сократите частное и проверьте, что его произведение на 3/4 равно 3/4. Почему сокращение результата не меняет проверку?
2. Разделите 5/6 на 5/9; сократите частное и проверьте, что его произведение на 5/9 равно 5/6. Почему сокращение результата не меняет проверку?
3. Разделите 4/7 на 2/3; сократите частное и проверьте, что его произведение на 2/3 равно 4/7. Почему сокращение результата не меняет проверку?

Исследование 2. Три подозрительных утверждения

4. Ученик записал 2/3 ÷ 4/9 = 2/3. Определите, верно ли число и соблюдено ли требование несократимого частного. Для проверки используйте умножение, а не приблизительные десятичные числа.
5. Ученик записал 7/10 ÷ 14/15 = 21/28. Определите, верно ли число и соблюдено ли требование несократимого частного. Для проверки используйте умножение, а не приблизительные десятичные числа.
6. Ученик записал 9/14 ÷ 3/7 = 3/2. Определите, верно ли число и соблюдено ли требование несократимого частного. Для проверки используйте умножение, а не приблизительные десятичные числа.

Контрпример к неверному правилу «если частное проверяется умножением, значит, оно уже несократимо»: 21/28 × 14/15 = 7/10 верно, однако НОД(21, 28) = 7, и 21/28 необходимо сократить до 3/4. Поэтому арифметически верное произведение ещё не завершает работу по условию о форме частного.

Применение. Самостоятельные задачи с обратным умножением

7. Найдите 3/8 ÷ 5/12. Представьте частное несократимой дробью и проверьте умножением на 5/12. Укажите НОД числителя и знаменателя результата.
8. Найдите 5/9 ÷ 2/3. Представьте частное несократимой дробью и проверьте умножением на 2/3. Укажите НОД числителя и знаменателя результата.
9. Найдите 7/12 ÷ 7/18. Представьте частное несократимой дробью и проверьте умножением на 7/18. Укажите НОД числителя и знаменателя результата.
10. Найдите 11/15 ÷ 22/25. Представьте частное несократимой дробью и проверьте умножением на 22/25. Укажите НОД числителя и знаменателя результата.
11. Найдите 4/5 ÷ 8/15. Представьте частное несократимой дробью и проверьте умножением на 8/15. Укажите НОД числителя и знаменателя результата.
12. Найдите 9/16 ÷ 3/8. Представьте частное несократимой дробью и проверьте умножением на 3/8. Укажите НОД числителя и знаменателя результата.
13. Найдите 8/21 ÷ 4/7. Представьте частное несократимой дробью и проверьте умножением на 4/7. Укажите НОД числителя и знаменателя результата.
14. Найдите 15/28 ÷ 5/14. Представьте частное несократимой дробью и проверьте умножением на 5/14. Укажите НОД числителя и знаменателя результата.

Как доказать правило в общем виде

Пусть a/b и c/d — две обыкновенные дроби с ненулевыми знаменателями и c ≠ 0. По определению, частное (a/b) ÷ (c/d) есть число q, которое при умножении на c/d даёт a/b. Возьмём q = (a × d)/(b × c). Тогда q × (c/d) = (a × d × c)/(b × c × d) = a/b, поскольку ненулевые множители c и d сокращаются. Это и доказывает, что при делении на дробь её нужно заменить обратным множителем. После вычисления дробь сокращают до НОД = 1.

Обратите внимание на условия. Если c = 0, делитель c/d равен нулю, и выражение (a/b) ÷ (c/d) не определено. Нельзя использовать обратную дробь d/c с нулём в знаменателе. Если же само делимое a/b равно нулю, а делитель не равен нулю, частное равно нулю и проверяется так же: 0 × (c/d) = 0. Нулевой результат принято записывать как 0, а не оставлять дробь 0/18.

Проверка не должна требовать округления. Например, для частного 5/6 и делителя 2/3 достаточно заметить (5/6) × (2/3) = 10/18 = 5/9. Десятичное приближение 0,833… здесь лишь усложняет точную проверку. Также нельзя «сокращать» числа по диагонали в сложении: правило сокращения применимо к произведениям и к числителю/знаменателю, но не к отдельным слагаемым.

Чтобы убедиться, что требование несократимости действительно соблюдено, воспользуйтесь наибольшим общим делителем. Например, 21 и 28 имеют НОД 7, а 3 и 4 имеют НОД 1. Это не означает, что дробь 21/28 давала ошибочное значение; ошибка состоит в оформлении окончательного ответа. В математическом рассуждении важно правильно назвать причину: «неверно вычислено», «верное число записано не в несократимом виде» или «не проверено обратным умножением».

После работы полезно дать устное обоснование без чисел: деление находят по обратному множителю, проверяют умножением частного на исходный делитель, а затем отдельно подтверждают отсутствие общего делителя у числителя и знаменателя. Только вместе эти условия выполняют весь запрос задачи. В заданиях 4–6 специально есть и неверное значение, и правильное значение с неправильной записью, и полностью верное решение — их нельзя оценивать одинаково.

Ключ и подробные объяснения

Результаты наблюдений, 1–3

1. 3/4 ÷ 3/4 = 1. НОД(1, 1) = 1. Проверка: 1 × 3/4 = 3/4. Сокращение не меняет значение частного.
2. 5/6 ÷ 5/9 = 3/2. НОД(3, 2) = 1. Проверка: 3/2 × 5/9 = 5/6. Сокращение не меняет значение частного.
3. 4/7 ÷ 2/3 = 6/7. НОД(6, 7) = 1. Проверка: 6/7 × 2/3 = 4/7. Сокращение не меняет значение частного.

Сомнительные решения, 4–6

4. Проверка записанного числа: 2/3 × 4/9 = 8/27. Это не 2/3, поэтому запись неверна. Правильное частное 3/2, НОД(3, 2) = 1. Предложенное число просто повторяет делимое.
5. Проверка числа 21/28 (= 3/4): 3/4 × 14/15 = 7/10. Равенство верно по значению. Правильное частное 3/4, НОД(3, 4) = 1. Запись 21/28 сократима на 7. Предложенное частное имеет общий делитель в числителе и знаменателе.
6. Проверка записанного числа: 3/2 × 3/7 = 9/14. Равенство верно по значению. Правильное частное 3/2, НОД(3, 2) = 1. Предложенная дробь уже несократима.

Применение правила, 7–14

7. 3/8 ÷ 5/12 = 9/10; НОД(9, 10) = 1. Обратная проверка: 9/10 × 5/12 = 3/8.
8. 5/9 ÷ 2/3 = 5/6; НОД(5, 6) = 1. Обратная проверка: 5/6 × 2/3 = 5/9.
9. 7/12 ÷ 7/18 = 3/2; НОД(3, 2) = 1. Обратная проверка: 3/2 × 7/18 = 7/12.
10. 11/15 ÷ 22/25 = 5/6; НОД(5, 6) = 1. Обратная проверка: 5/6 × 22/25 = 11/15.
11. 4/5 ÷ 8/15 = 3/2; НОД(3, 2) = 1. Обратная проверка: 3/2 × 8/15 = 4/5.
12. 9/16 ÷ 3/8 = 3/2; НОД(3, 2) = 1. Обратная проверка: 3/2 × 3/8 = 9/16.
13. 8/21 ÷ 4/7 = 2/3; НОД(2, 3) = 1. Обратная проверка: 2/3 × 4/7 = 8/21.
14. 15/28 ÷ 5/14 = 3/2; НОД(3, 2) = 1. Обратная проверка: 3/2 × 5/14 = 15/28.

Критерии самопроверки: за каждое задание 1 балл за верное частное, 1 за несократимую запись и 1 за правильное проверочное произведение. В заданиях 4–6 дополнительное требование — объяснить, относится ошибка к вычислению или к оформлению. Если строка с умножением верна, но частное не сокращено, это не полный ответ на задание.