Исключение запрещённых сочетаний для кода из двух разных символов: задачи с решениями для 6 класса

Углублённый практикум, 6 класс. Код состоит из двух разных знаков, порядок которых важен. Сначала определяют все допустимые коды без дополнительных запретов, затем точно удаляют перечисленные запрещённые пары. Смена мест символов обычно даёт другой код. В отличие от простого перебора здесь главная работа — корректно применить несколько ограничений и исключить именно те сочетания, которые названы.

Метод трёх шагов

Для набора {А, Б, В, Г} без повторения символа исходно 4 × 3 = 12 кодов. Если нельзя использовать «АВ» и «ГА», останется 10 кодов. «ВА» при этом разрешён: запрет «АВ» не равен запрету обеих перестановок. Записывайте первый символ по строкам, второй — по столбцам; диагональ (АА и т. п.) исключается всегда. Затем вычеркните только те клетки, которые названы в условии.

Уровень 1. Вычеркните запрещённые коды из полного списка

1. Знаки {А, Б, В, Г}. Исключите коды АБ, ВГ. Сколько осталось допустимых двузначных кодов? Выпишите полный остаток без повторений.
2. Знаки {А, Б, В, Г}. Исключите коды БА, АГ, ГВ. Сколько осталось допустимых двузначных кодов? Выпишите полный остаток без повторений.
3. Знаки {0, 1, 2, 3}. Исключите коды 01, 30. Сколько осталось допустимых двузначных кодов? Выпишите полный остаток без повторений.
4. Знаки {К, Л, М, Н}. Исключите коды КМ, ЛН. Сколько осталось допустимых двузначных кодов? Выпишите полный остаток без повторений.
5. Знаки {А, Б, В, Г, Д}. Исключите коды АВ, ДГ, БА. Сколько осталось допустимых двузначных кодов? Выпишите полный остаток без повторений.
6. Знаки {0, 1, 2, 3, 4}. Исключите коды 04, 40. Сколько осталось допустимых двузначных кодов? Выпишите полный остаток без повторений.
7. Знаки {Р, С, Т, У}. Исключите коды РТ, ТС, УС. Сколько осталось допустимых двузначных кодов? Выпишите полный остаток без повторений.
8. Знаки {П, Ф, Х, Ц}. Исключите коды ПХ, ХП, ЦФ. Сколько осталось допустимых двузначных кодов? Выпишите полный остаток без повторений.

Уровень 2. Запрет плюс требование к позиции

Сначала учитывайте условие для позиции, и лишь затем удаляйте запрещённые пары, если они уже входили в отобранное множество. Запрещённый код вне исходного списка ничего не меняет. В заданиях этого уровня встречаются буквенные и цифровые обозначения, но они по-прежнему являются символами кода, а не числами.

9. Символы {А, Б, В, Г}; первая позиция только из {а, б}. Дополнительно запрещены пары АВ, БГ. Найдите все допустимые коды и объясните, какие запреты реально уменьшают выбор.
10. Символы {К, Л, М, Н}; вторая позиция только из {к, м}. Дополнительно запрещены пары ЛМ, НК. Найдите все допустимые коды и объясните, какие запреты реально уменьшают выбор.
11. Символы {0, 1, 2, 3, 4}; первая позиция только из {0, 1, 3}. Дополнительно запрещены пары 02, 31. Найдите все допустимые коды и объясните, какие запреты реально уменьшают выбор.
12. Символы {Р, С, Т, У}; вторая позиция только из {с, т}. Дополнительно запрещены пары РС, ТС. Найдите все допустимые коды и объясните, какие запреты реально уменьшают выбор.
13. Символы {А, Б, В, Г, Д}; первая позиция только из {а, б, в}. Дополнительно запрещены пары АБ, ГВ. Найдите все допустимые коды и объясните, какие запреты реально уменьшают выбор.
14. Символы {0, 1, 2, 3}; вторая позиция только из {1, 2}. Дополнительно запрещены пары 01, 31. Найдите все допустимые коды и объясните, какие запреты реально уменьшают выбор.
15. Символы {К, Л, М, Н, О}; первая позиция только из {к, л}. Дополнительно запрещены пары КМ, ЛО. Найдите все допустимые коды и объясните, какие запреты реально уменьшают выбор.
16. Символы {П, Р, С, Т}; вторая позиция только из {п, т}. Дополнительно запрещены пары РТ, СП. Найдите все допустимые коды и объясните, какие запреты реально уменьшают выбор.

Уровень 3. Выявите противоречия в многошаговом отборе

На последнем уровне некоторые условия запрещают не одну запись, а сразу все записи, содержащие конкретный символ на данной позиции. Поэтому вычитание числа запрещённых слов из общего количества нужно выполнять только после того, как уточнено, какие пары остались в рабочем наборе. Если запреты пересекаются, одну пару нельзя вычитать дважды.

17. Коды из {А, Б, В, Г} с разными знаками; первый знак входит в {А}. Указаны запреты АБ, БВ. Найдите число и полный список разрешённых кодов; объясните, какие запреты лишние.
18. Коды из {0, 1, 2, 3, 4} с разными знаками; второй знак входит в {0, 4}. Указаны запреты 10, 20. Найдите число и полный список разрешённых кодов; объясните, какие запреты лишние.
19. Коды из {К, Л, М, Н} с разными знаками; первый знак входит в {К, Л}. Указаны запреты КЛ, ЛК, КМ. Найдите число и полный список разрешённых кодов; объясните, какие запреты лишние.
20. Коды из {Р, С, Т, У} с разными знаками; второй знак входит в {Р, У}. Указаны запреты СР, УР. Найдите число и полный список разрешённых кодов; объясните, какие запреты лишние.
21. Коды из {А, Б, В, Г, Д} с разными знаками; первый знак входит в {А, Б, Г}. Указаны запреты АВ, БГ, ДВ. Найдите число и полный список разрешённых кодов; объясните, какие запреты лишние.
22. Коды из {0, 1, 2, 3} с разными знаками; второй знак входит в {1, 3}. Указаны запреты 01, 21, 03. Найдите число и полный список разрешённых кодов; объясните, какие запреты лишние.
23. Коды из {П, Р, С, Т, У} с разными знаками; первый знак входит в {П, Р}. Указаны запреты ПС, РТ, ТП. Найдите число и полный список разрешённых кодов; объясните, какие запреты лишние.
24. Коды из {К, Л, М, Н, О} с разными знаками; второй знак входит в {К, М}. Указаны запреты ЛК, НМ, ОК. Найдите число и полный список разрешённых кодов; объясните, какие запреты лишние.

Ключ ко всем трём уровням

Ключ 1–8: прямое исключение

1. Всего 4 × 3 = 12; удалено 2 разных кода(ов). Остаётся 10: АВ, АГ, БА, БВ, БГ, ВА, ВБ, ГА, ГБ, ГВ. Проверка: 10 + 2 = 12.
2. Всего 4 × 3 = 12; удалено 3 разных кода(ов). Остаётся 9: АБ, АВ, БВ, БГ, ВА, ВБ, ВГ, ГА, ГБ. Проверка: 9 + 3 = 12.
3. Всего 4 × 3 = 12; удалено 2 разных кода(ов). Остаётся 10: 02, 03, 10, 12, 13, 20, 21, 23, 31, 32. Проверка: 10 + 2 = 12.
4. Всего 4 × 3 = 12; удалено 2 разных кода(ов). Остаётся 10: КЛ, КН, ЛК, ЛМ, МК, МЛ, МН, НК, НЛ, НМ. Проверка: 10 + 2 = 12.
5. Всего 5 × 4 = 20; удалено 3 разных кода(ов). Остаётся 17: АБ, АГ, АД, БВ, БГ, БД, ВА, ВБ, ВГ, ВД, ГА, ГБ, ГВ, ГД, ДА, ДБ, ДВ. Проверка: 17 + 3 = 20.
6. Всего 5 × 4 = 20; удалено 2 разных кода(ов). Остаётся 18: 01, 02, 03, 10, 12, 13, 14, 20, 21, 23, 24, 30, 31, 32, 34, 41, 42, 43. Проверка: 18 + 2 = 20.
7. Всего 4 × 3 = 12; удалено 3 разных кода(ов). Остаётся 9: РС, РУ, СР, СТ, СУ, ТР, ТУ, УР, УТ. Проверка: 9 + 3 = 12.
8. Всего 4 × 3 = 12; удалено 3 разных кода(ов). Остаётся 9: ПФ, ПЦ, ФП, ФХ, ФЦ, ХФ, ХЦ, ЦП, ЦХ. Проверка: 9 + 3 = 12.

Ключ 9–16: сначала фильтр позиции

9. Условию позиции соответствуют 6 кодов. Из них запрещены АВ, БГ; Остаётся 4: АБ, АГ, БА, БВ.
10. Условию позиции соответствуют 6 кодов. Из них запрещены ЛМ, НК; Остаётся 4: КМ, ЛК, МК, НМ.
11. Условию позиции соответствуют 12 кодов. Из них запрещены 02, 31; Остаётся 10: 01, 03, 04, 10, 12, 13, 14, 30, 32, 34.
12. Условию позиции соответствуют 6 кодов. Из них запрещены РС, ТС; Остаётся 4: РТ, СТ, УС, УТ.
13. Условию позиции соответствуют 12 кодов. Из них запрещены АБ; пара(ы) ГВ уже отсутствовали в допустимом пространстве. Остаётся 11: АВ, АГ, АД, БА, БВ, БГ, БД, ВА, ВБ, ВГ, ВД.
14. Условию позиции соответствуют 6 кодов. Из них запрещены 01, 31; Остаётся 4: 02, 12, 21, 32.
15. Условию позиции соответствуют 8 кодов. Из них запрещены КМ, ЛО; Остаётся 6: КЛ, КН, КО, ЛК, ЛМ, ЛН.
16. Условию позиции соответствуют 6 кодов. Из них запрещены РТ, СП; Остаётся 4: ПТ, РП, СТ, ТП.

Ключ 17–24: совместная проверка условий

17. После позиционного ограничения имеется 3 кодов. Среди них встречаются ровно 1 запрещённых: АБ. Остальные записи уже исключены условием на позицию. Итог — 2 кодов: АВ, АГ.
18. После позиционного ограничения имеется 8 кодов. Среди них встречаются ровно 2 запрещённых: 10, 20. Остальные записи уже исключены условием на позицию. Итог — 6 кодов: 04, 14, 24, 30, 34, 40.
19. После позиционного ограничения имеется 6 кодов. Среди них встречаются ровно 3 запрещённых: КЛ, ЛК, КМ. Остальные записи уже исключены условием на позицию. Итог — 3 кодов: КН, ЛМ, ЛН.
20. После позиционного ограничения имеется 6 кодов. Среди них встречаются ровно 2 запрещённых: СР, УР. Остальные записи уже исключены условием на позицию. Итог — 4 кодов: РУ, СУ, ТР, ТУ.
21. После позиционного ограничения имеется 12 кодов. Среди них встречаются ровно 2 запрещённых: АВ, БГ. Остальные записи уже исключены условием на позицию. Итог — 10 кодов: АБ, АГ, АД, БА, БВ, БД, ГА, ГБ, ГВ, ГД.
22. После позиционного ограничения имеется 6 кодов. Среди них встречаются ровно 3 запрещённых: 01, 21, 03. Остальные записи уже исключены условием на позицию. Итог — 3 кодов: 13, 23, 31.
23. После позиционного ограничения имеется 8 кодов. Среди них встречаются ровно 2 запрещённых: ПС, РТ. Остальные записи уже исключены условием на позицию. Итог — 6 кодов: ПР, ПТ, ПУ, РП, РС, РУ.
24. После позиционного ограничения имеется 8 кодов. Среди них встречаются ровно 3 запрещённых: ЛК, НМ, ОК. Остальные записи уже исключены условием на позицию. Итог — 5 кодов: КМ, ЛМ, МК, НК, ОМ.

Для сложных заданий полезна двойная проверка. Первая: пересчитайте количество из общего числа кодов после условия на позицию, вычитая только реально подходящие запреты. Вторая: проверьте вручную каждую позицию в итоговом перечне: два символа различны, позиция удовлетворяет условию и ни один запрещённый код не остался. Если два разных запрета касаются одной пары, удалять её надо только один раз. Если запрет назван для пары, которая была исключена ранее, он не уменьшает число допустимых кодов.