Подбор пропущенного слагаемого после группировки подобных членов: тематические карточки для 7 класса

7 класс · Алгебра · 1296. Исследовательские карточки: пропущенное слагаемое ищут после группировки подобных членов, а не подбирают наугад.

Наблюдение: зачем группировать

Даны два выражения: 3x + 2x − x + □ + 7 и 8x + 7. На первый взгляд пропуск можно спутать с числом, потому что рядом стоит 7. Однако известные x-члены дают 4x, следовательно □ = 4x. Для проверки достаточно сложить 3x + 2x − x + 4x = 8x. Важный вопрос: чем отличаются коэффициент и степень одночлена? Коэффициенты подобных одночленов можно сложить, x и x² — нет.

Гипотеза для обсуждения. «Если сумма коэффициентов положительна, пропуск тоже положительный». Это неверно: 5x + 7x + □ = 2x даёт □ = −10x. Один подходящий контрпример опровергает общее утверждение.

Карточка-лаборатория: выпиши известную сумму

В каждом примере сгруппируйте слагаемые по степеням x, затем найдите один пропущенный одночлен. Объясните, почему ответ единственный. Равенства должны быть тождествами при любом значении x.

1. (7) + (−8x²) + (3x) + (−3) + (4x²) + □ = −4x² − 4x + 4. Найдите пропуск после группировки.
2. (−8x) + (−2) + (4x²) + (4x) + (2) + (7x²) + □ = 2x² − 4x. Найдите пропуск после группировки.
3. (−8x²) + (−8x) + (7) + (−2x²) + (−3x) + □ = −10x² − 11x − 4. Найдите пропуск после группировки.
4. (−2) + (−5x²) + (4x) + (3) + (−5x²) + (3x) + □ = −10x² + 17x + 1. Найдите пропуск после группировки.
5. (−2x) + (4) + (3x²) + (−3x) + (4) + □ = −8x² − 5x + 8. Найдите пропуск после группировки.
6. (4x²) + (−3x) + (−2) + (−3x²) + (3x) + (6) + □ = x² − 11x + 4. Найдите пропуск после группировки.
7. (−8) + (4x²) + (−3x) + (−8) + (4x²) + □ = 8x² − 3x − 23. Найдите пропуск после группировки.

Проверка гипотезы на новых выражениях

Теперь сравнивайте не только коэффициенты, но и порядок членов: сначала сгруппируйте x², затем x и свободные числа. Не заменяйте x² на 2x — это разные одночлены.

8. (2x) + (−5) + (−3x²) + (4x) + (3) + (2x²) + □ = 9x² + 6x − 2. Найдите пропуск после группировки.
9. (−5x²) + (4x) + (6) + (−3x²) + (3x) + □ = −8x² + 17x + 6. Найдите пропуск после группировки.
10. (2) + (−8x²) + (−6x) + (3) + (−5x²) + (4x) + □ = −22x² − 2x + 5. Найдите пропуск после группировки.
11. (−8x) + (6) + (−6x²) + (−8x) + (3) + □ = −6x² − 16x + 19. Найдите пропуск после группировки.
12. (4x²) + (−6x) + (−6) + (−5x²) + (−6x) + (−8) + □ = −x² − 8x − 14. Найдите пропуск после группировки.
13. (−6) + (4x²) + (4x) + (3) + (−8x²) + □ = 4x² + 4x − 3. Найдите пропуск после группировки.
14. (3x) + (−8) + (−3x²) + (−6x) + (−6) + (−8x²) + □ = −11x² + x − 14. Найдите пропуск после группировки.

Что происходит в особых случаях

Если похожие одночлены взаимно сокращаются, их сумма равна нулю, но сам пропуск от этого не исчезает. Если полученный пропуск равен нулю, это означает, что известные члены уже дают нужный многочлен. Здесь во всех четырнадцати заданиях пропуск ненулевой и однозначно определён.

Разбор и ответы

1. −7x. Сумма пяти или шести известных одночленов после группировки равна −4x² + 3x + 4; вычитаем её из −4x² − 4x + 4 и получаем −7x. При обратной подстановке все коэффициенты совпадают.
2. −9x². Сумма пяти или шести известных одночленов после группировки равна 11x² − 4x; вычитаем её из 2x² − 4x и получаем −9x². При обратной подстановке все коэффициенты совпадают.
3. −11. Сумма пяти или шести известных одночленов после группировки равна −10x² − 11x + 7; вычитаем её из −10x² − 11x − 4 и получаем −11. При обратной подстановке все коэффициенты совпадают.
4. 10x. Сумма пяти или шести известных одночленов после группировки равна −10x² + 7x + 1; вычитаем её из −10x² + 17x + 1 и получаем 10x. При обратной подстановке все коэффициенты совпадают.
5. −11x². Сумма пяти или шести известных одночленов после группировки равна 3x² − 5x + 8; вычитаем её из −8x² − 5x + 8 и получаем −11x². При обратной подстановке все коэффициенты совпадают.
6. −11x. Сумма пяти или шести известных одночленов после группировки равна x² + 4; вычитаем её из x² − 11x + 4 и получаем −11x. При обратной подстановке все коэффициенты совпадают.
7. −7. Сумма пяти или шести известных одночленов после группировки равна 8x² − 3x − 16; вычитаем её из 8x² − 3x − 23 и получаем −7. При обратной подстановке все коэффициенты совпадают.
8. 10x². Сумма пяти или шести известных одночленов после группировки равна −x² + 6x − 2; вычитаем её из 9x² + 6x − 2 и получаем 10x². При обратной подстановке все коэффициенты совпадают.
9. 10x. Сумма пяти или шести известных одночленов после группировки равна −8x² + 7x + 6; вычитаем её из −8x² + 17x + 6 и получаем 10x. При обратной подстановке все коэффициенты совпадают.
10. −9x². Сумма пяти или шести известных одночленов после группировки равна −13x² − 2x + 5; вычитаем её из −22x² − 2x + 5 и получаем −9x². При обратной подстановке все коэффициенты совпадают.
11. 10. Сумма пяти или шести известных одночленов после группировки равна −6x² − 16x + 9; вычитаем её из −6x² − 16x + 19 и получаем 10. При обратной подстановке все коэффициенты совпадают.
12. 4x. Сумма пяти или шести известных одночленов после группировки равна −x² − 12x − 14; вычитаем её из −x² − 8x − 14 и получаем 4x. При обратной подстановке все коэффициенты совпадают.
13. 8x². Сумма пяти или шести известных одночленов после группировки равна −4x² + 4x − 3; вычитаем её из 4x² + 4x − 3 и получаем 8x². При обратной подстановке все коэффициенты совпадают.
14. 4x. Сумма пяти или шести известных одночленов после группировки равна −11x² − 3x − 14; вычитаем её из −11x² + x − 14 и получаем 4x. При обратной подстановке все коэффициенты совпадают.

Дополнительное доказательство. Если для одного и того же тождества подходят два одночлена U и V, то после вычитания равенств получаем U − V = 0 при всех x. Следовательно, их коэффициенты одинаковы и U = V. Это доказывает однозначность ответа, а не только подтверждает результат для x = 1.

Мини-исследование коэффициентов

Рассмотрим выражение 3x² − x² + 5x − 3x + □ − 2. Требуется, чтобы оно равнялось 2x² + 7x − 2. Группы видны отдельно: квадратичные члены дают 2x², линейные — 2x, свободный член — −2. До нужных 7x не хватает ровно 5x. Поэтому □=5x. Обратная проверка: 3x²−x²=2x², 5x−3x+5x=7x; ни один коэффициент не потерян.

Теперь изменим ровно одну деталь: в исходном выражении заменим 5x на 5x². Подставлять прежний ответ нельзя, поскольку теперь квадратичная часть стала иной. Новый пропуск можно определить только повторной группировкой. Эта маленькая модификация помогает отличить осмысленное решение от механического повторения уже увиденного числа.

Почему нельзя просто сложить все числа, написанные в выражении

У одночленов 4x², −2x и +3 различные буквенные части. Хотя их коэффициенты и свободный член представлены целыми числами, одно выражение 4−2+3=5 не описывает исходный многочлен. Правильная группировка должна сохранять степени переменной. Равенство 4x²−2x+3=5 неверно для большинства значений x; например, при x=2 слева получается 16−4+3=15.

Проверка посредством x=0 обнаруживает только ошибку в свободном члене: линейные и квадратичные части при нуле исчезают. Подстановка x=1 проверяет сумму всех коэффициентов, но не их распределение по степеням. Поэтому две разные ошибки иногда маскируют друг друга. Для уверенного доказательства нужно получить стандартный вид многочлена; отдельные числовые проверки служат вспомогательным инструментом.

Вопросы для обсуждения решений

Может ли пропущенное слагаемое быть отрицательным? Да, если известная группа содержит больший коэффициент, чем целевой многочлен. Может ли оно содержать x², даже если рядом с пропуском в записи стоит число? Да, место в строке не определяет степень одночлена. Наконец, может ли вместо одного пропущенного одночлена понадобиться сумма нескольких? В таких задачах условие специально сконструировано так, что достаточно одного слагаемого; при произвольных правых частях это не гарантировано.

Чтобы проверить последнее замечание, сопоставьте 2x + □ = 5x + 4. Нельзя заменить □ только одним одночленом, поскольку одновременно не хватает 3x и 4. В нашей серии такая ситуация исключена: у каждого задания разность между правой частью и уже известными членами имеет ровно одну степень x. Это проверяется до записи ответа.

Педагогическая оценка

Предложите ученику закрасить одинаковым цветом все квадратичные, линейные и свободные члены, а затем записать три отдельные суммы коэффициентов. За правильный ответ без промежуточной группировки можно поставить меньше баллов: основная цель исследования — не угадывание пропуска, а контролируемый переход к стандартному виду. Для сильной группы попросите объяснить однозначность ответа словами, а затем повторить доказательство с буквами U и V.

Если два ученика получили противоположные результаты, проверьте сначала раскрытие скобок и только потом арифметику: в этой серии все видимые члены стоят в открытой сумме, поэтому источником ошибки чаще оказывается неправильное сложение коэффициентов, а не изменение знака при снятии скобок. Эта диагностическая особенность отличает данные карточки от соседнего практикума.